矩阵运算、逆矩阵与伴随矩阵

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵；了解分块矩阵及其运算。

矩阵运算和数的运算最大的不同是乘法不满足交换律。学完这一节，你应该能熟练做矩阵乘法与求逆，记住 $AA^{*} = \lvert A \rvert E$AA∗=∣A∣E 这条主线，并会处理含逆矩阵、伴随矩阵的行列式计算。

矩阵的运算

矩阵的概念与线性运算

由 $m \times n$m×n 个数排成的 $m$m 行 $n$n 列的数表叫 $m \times n$m×n 矩阵，记作 $A = (a_{ij})_{m \times n}$A=(aij​)m×n​；$m = n$m=n 时叫 $n$n 阶方阵。行数、列数分别相同的两个矩阵叫同型矩阵，同型且对应元素都相等时才说两个矩阵相等。矩阵的线性运算指加法和数乘：同型矩阵相加是对应元素相加，$A - B = A + (-B)$A−B=A+(−B)；数 $k$k 乘矩阵是用 $k$k 乘 $A$A 的每一个元素。它们满足 $A + B = B + A$A+B=B+A、$(A + B) + C = A + (B + C)$(A+B)+C=A+(B+C)、$k(A + B) = kA + kB$k(A+B)=kA+kB、$(k + l)A = kA + lA$(k+l)A=kA+lA、$(kl)A = k(lA)$(kl)A=k(lA)，所以含未知矩阵的线性等式可以像解一次方程那样移项、合并，再两边同乘一个非零数的倒数。注意矩阵是数表、行列式是一个数：$kA$kA 是每个元素都乘 $k$k，而行列式乘 $k$k 只乘其中一行，所以 $n$n 阶方阵有 $\lvert kA \rvert = k^n\lvert A \rvert$∣kA∣=kn∣A∣。

乘法与转置

$A$A 是 $m \times s$m×s 矩阵、$B$B 是 $s \times n$s×n 矩阵时，$AB$AB 是 $m \times n$m×n 矩阵，第 $i$i 行第 $j$j 列元素是 $A$A 的第 $i$i 行与 $B$B 的第 $j$j 列对应元素乘积之和。矩阵乘法满足结合律和分配律，但一般不满足交换律，也不满足消去律：$AB = O$AB=O 推不出 $A = O$A=O 或 $B = O$B=O。转置的规律是 $\left(A^{T}\right)^{T} = A$(AT)T=A，$(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$(AB)T=BTAT。

特殊矩阵

单位矩阵 $E$E、数量矩阵 $kE$kE、对角矩阵、上（下）三角矩阵的乘积仍保持原来的形状。$A^{T} = A$AT=A 的叫对称矩阵，$A^{T} = -A$AT=−A 的叫反对称矩阵（主对角线元素全为 0）；$A^{T}A = E$ATA=E 的叫正交矩阵，它可逆，$A^{-1} = A^{T}$A−1=AT，且 $\lvert A \rvert = \pm 1$∣A∣=±1。

方阵的幂与行列式

$A^k$Ak 表示 $k$k 个 $A$A 相乘。因为乘法不可交换，$(AB)^2 = ABAB$(AB)2=ABAB，一般不等于 $A^2B^2$A2B2；$(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$(A+B)2=A2+AB+BA+B2。

方阵的行列式有三条常用性质（$A$A、$B$B 都是 $n$n 阶）：

$\left\lvert A^{T} \right\rvert = \lvert A \rvert, \qquad \lvert kA \rvert = k^n\lvert A \rvert, \qquad \lvert AB \rvert = \lvert A \rvert\,\lvert B \rvert$​AT​=∣A∣,∣kA∣=kn∣A∣,∣AB∣=∣A∣∣B∣

求秩为 1 的矩阵的幂有一个技巧：若 $A = \alpha\beta^{T}$A=αβT（$\alpha$α、$\beta$β 是列向量），则 $A^k = \left(\beta^{T}\alpha\right)^{k - 1}A$Ak=(βTα)k−1A，因为中间的 $\beta^{T}\alpha$βTα 是一个数。例如 $\alpha = (1, 1)^{T}$α=(1,1)T、$\beta = (2, 1)^{T}$β=(2,1)T 时 $\beta^{T}\alpha = 3$βTα=3，$A^k = 3^{k - 1}A$Ak=3k−1A。

逆矩阵

概念与性质

对 $n$n 阶方阵 $A$A，若有 $B$B 使 $AB = BA = E$AB=BA=E，则 $A$A 可逆，$B = A^{-1}$B=A−1，逆矩阵唯一。$A$A 可逆的充分必要条件是 $\lvert A \rvert \neq 0$∣A∣=0。对方阵来说，只要 $AB = E$AB=E，就有 $B = A^{-1}$B=A−1。常用性质：

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A, \quad (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}, \quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \quad \left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}, \quad \left\lvert A^{-1} \right\rvert = \frac{1}{\lvert A \rvert}$(A−1)−1=A,(kA)−1=k1​A−1,(AB)−1=B−1A−1,(AT)−1=(A−1)T,​A−1​=∣A∣1​

由矩阵等式求逆

已知 $A$A 满足一个多项式等式时，设法凑成「某个矩阵乘以另一个矩阵等于 $E$E 的倍数」。例如 $A^2 - A - 2E = O$A2−A−2E=O，则 $A(A - E) = 2E$A(A−E)=2E，所以 $A^{-1} = \dfrac{1}{2}(A - E)$A−1=21​(A−E)。解矩阵方程时，$AX = B$AX=B 的解是 $X = A^{-1}B$X=A−1B，$XA = B$XA=B 的解是 $X = BA^{-1}$X=BA−1，左乘、右乘不能弄混。