多元函数的极值与最值

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

这一节把一元函数求极值、最值的思路搬到二元函数上：先找出可能的点，再判别或比较。学完这一节，你应该能用 $AC - B^2$AC−B2 判别驻点，会写拉格朗日函数求条件极值，会分「内部」和「边界」两步求闭区域上的最值。

无条件极值

极值的定义与必要条件

设 $f(x, y)$f(x,y) 在点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 的某邻域内有定义，若对该邻域内异于 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 的点都有 $f(x, y) < f(x_0, y_0)$f(x,y)<f(x0​,y0​)，称 $f(x_0, y_0)$f(x0​,y0​) 为极大值；不等号反过来就是极小值。

必要条件：若 $f$f 在 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 处偏导数存在且取得极值，则 $f_x(x_0, y_0) = 0$fx​(x0​,y0​)=0，$f_y(x_0, y_0) = 0$fy​(x0​,y0​)=0，满足这两个等式的点叫驻点。极值点只可能出现在驻点或偏导数不存在的点上，但驻点不一定是极值点。

极值的充分条件

设 $f$f 在驻点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 的某邻域内有连续二阶偏导数，记 $A = f_{xx}(x_0, y_0)$A=fxx​(x0​,y0​)，$B = f_{xy}(x_0, y_0)$B=fxy​(x0​,y0​)，$C = f_{yy}(x_0, y_0)$C=fyy​(x0​,y0​)，则：

$AC - B^2$AC−B2 的符号	结论
大于 0	有极值：$A > 0$A>0 时为极小值，$A < 0$A<0 时为极大值
小于 0	没有极值
等于 0	不能确定，需要另行讨论

求极值的步骤：先解方程组 $f_x = 0$fx​=0、$f_y = 0$fy​=0 求出全部驻点；再求二阶偏导数，在每个驻点处算出 $A$A、$B$B、$C$C；最后按 $AC - B^2$AC−B2 的符号逐个判别，有极值的算出函数值。

条件极值与拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法

求 $z = f(x, y)$z=f(x,y) 在约束条件 $\varphi(x, y) = 0$φ(x,y)=0 下的极值，作拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\varphi(x, y)$L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，解方程组

$\begin{cases} f_x + \lambda\varphi_x = 0 \\ f_y + \lambda\varphi_y = 0 \\ \varphi(x, y) = 0 \end{cases}$⎩⎨⎧​fx​+λφx​=0fy​+λφy​=0φ(x,y)=0​

得到的 $(x, y)$(x,y) 是可能的极值点。三个自变量、一个或两个约束条件时做法相同，每个约束条件配一个乘数。

两点用法提示

约束条件简单时，也可以从约束中解出一个变量代入目标函数，化成一元函数求极值。应用题中若根据实际意义最值一定存在，而可能的点只有一个，这个点就是所求的最值点，不必再判别。求距离的最值时，常把距离的平方作为目标函数，计算更简单，最后别忘了开方。

闭区域上的最值

有界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。求法分三步：先求区域内部驻点（以及偏导数不存在的点）的函数值，不必判别是不是极值；再求函数在边界上的最大值和最小值，边界方程可以代入化成一元函数，也可以用拉格朗日乘数法；最后比较所有这些数值，最大的是最大值，最小的是最小值。