导数与微分的概念

本节导读

一元函数微分学在大纲里的条目较多，本课用第 6 至 11 节共 6 节来讲。常见资料转录的大纲对这一节的要求是：理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；会求分段函数的导数。

用定义判断可导性、由极限式反推导数值、求切线与法线，都可以出成选择题或填空题；分段函数在分界点的可导性也常作为解答题的一步。学完这一节，你应该能把各种「变形的增量比」还原成导数定义，并能按定义讨论分界点的连续性与可导性。

导数的定义

两种写法

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$f′(x0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​

识别一个极限是不是导数定义，抓两点：分子是「同一个函数在两点的值之差」，其中一点固定为 $x_0$x0​（或可以拆成两项都与 $x_0$x0​ 比）；分母恰好等于两点自变量之差。已知可导时，系数可以凑出来，例如 $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0 + 2h) - f(x_0 - h)}{h} = 2f'(x_0) + f'(x_0) = 3f'(x_0)$limh→0​hf(x0​+2h)−f(x0​−h)​=2f′(x0​)+f′(x0​)=3f′(x0​)，做法是在分子中间减一个、加一个 $f(x_0)$f(x0​)。

左导数与右导数

把定义里的极限换成左极限、右极限，得到左导数 $f'_-(x_0)$f−′​(x0​) 和右导数 $f'_+(x_0)$f+′​(x0​)。$f$f 在 $x_0$x0​ 处可导，当且仅当左、右导数都存在且相等。分段函数在分界点、含绝对值的函数在绝对值为零的点，都要分左右导数讨论。

导数的几何意义与物理意义

切线与法线

$f'(x_0)$f′(x0​) 是曲线 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $(x_0, f(x_0))$(x0​,f(x0​)) 处切线的斜率：

情形	切线	法线
$f'(x_0)$f′(x0​) 存在且不为零	$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$y−y0​=f′(x0​)(x−x0​)	$y - y_0 = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$y−y0​=−f′(x0​)1​(x−x0​)
$f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0	水平线 $y = y_0$y=y0​	竖直线 $x = x_0$x=x0​
$f'(x_0) = \infty$f′(x0​)=∞	竖直线 $x = x_0$x=x0​	水平线 $y = y_0$y=y0​

物理意义

导数是变化率。位置函数 $s(t)$s(t) 的导数是速度 $v(t) = s'(t)$v(t)=s′(t)，速度的导数是加速度 $a(t) = v'(t) = s''(t)$a(t)=v′(t)=s′′(t)；电量对时间的导数是电流，细棒质量对长度的导数是线密度。应用题里「某个量变化得多快」，就是求它对时间的导数。

可导与连续的关系

可导一定连续：$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\cdot\Delta x \to f'(x_0) \cdot 0 = 0$f(x0​+Δx)−f(x0​)=Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​⋅Δx→f′(x0​)⋅0=0。反过来不成立：$\lvert x \rvert$∣x∣ 在 $x = 0$x=0 处连续，但左导数 $-1$−1、右导数 $1$1，不可导，图形上是一个尖点。

所以讨论分界点时有一个省事的顺序：先看连续，不连续就一定不可导，不必再算导数；连续了，再按定义算左右导数。

微分与微分形式不变性

微分的定义

若 $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$Δy=AΔx+o(Δx)，称 $f$f 在 $x_0$x0​ 处可微，$dy = A\Delta x$dy=AΔx。一元函数可微与可导等价，且 $A = f'(x_0)$A=f′(x0​)，所以 $dy = f'(x)dx$dy=f′(x)dx。$dy$dy 是切线上纵坐标的增量，$\Delta y$Δy 是曲线上纵坐标的增量，两者之差是比 $\Delta x$Δx 高阶的无穷小，这就是「以直代曲」做近似计算的依据。

一阶微分形式的不变性

不论 $u$u 是自变量还是中间变量，$y = f(u)$y=f(u) 的微分都是 $dy = f'(u)du$dy=f′(u)du。求复合函数的微分时可以逐层写：$y = \ln(1 + e^{2x})$y=ln(1+e2x)，$dy = \dfrac{1}{1 + e^{2x}}d(1 + e^{2x}) = \dfrac{2e^{2x}}{1 + e^{2x}}dx$dy=1+e2x1​d(1+e2x)=1+e2x2e2x​dx。微分的四则运算法则与导数的完全对应，例如 $d(uv) = v\,du + u\,dv$d(uv)=vdu+udv。

分段函数的导数

分段函数在每一段内部用求导公式，在分界点用定义。下面这组函数是检验概念的经典例子（$x \neq 0$x=0 时 $f(x) = x^{k}\sin\dfrac{1}{x}$f(x)=xksinx1​，$f(0) = 0$f(0)=0）：

$k$k	在 $0$0 处连续	在 $0$0 处可导	导函数在 $0$0 处连续
1	是	否	—
2	是	是，$f'(0) = 0$f′(0)=0	否
3	是	是，$f'(0) = 0$f′(0)=0	是

$k = 2$k=2 时，$x \neq 0$x=0 处 $f'(x) = 2x\sin\dfrac{1}{x} - \cos\dfrac{1}{x}$f′(x)=2xsinx1​−cosx1​ 在 $x \to 0$x→0 时没有极限，可 $f'(0)$f′(0) 按定义算出来是 $0$0。这说明分界点的导数要按定义算，不能用「导函数的极限」代替。

易错提醒

• ❌ 由 $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}$limh→0​2hf(x0​+h)−f(x0​−h)​ 存在，推出 $f$f 在 $x_0$x0​ 处可导。✅ 这个对称的极限不含 $f(x_0)$f(x0​)，$\lvert x \rvert$∣x∣ 在 $0$0 处这个极限是 $0$0，却不可导。

• ❌ 判断分界点可导性时，用两侧导函数的极限代替左右导数。✅ 要用定义；上表 $k = 2$k=2 的例子里导函数没有极限，导数却存在。

• ❌ 「连续一定可导」。✅ 可导推出连续，反过来不成立，尖点处连续而不可导。

• ❌ 法线斜率写成 $-f'(x_0)$−f′(x0​)。✅ 法线与切线垂直，斜率是 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$−f′(x0​)1​（$f'(x_0) \neq 0$f′(x0​)=0 时）。

• ❌ 把 $dy$dy 和 $\Delta y$Δy 当成一回事。✅ $\Delta y = dy + o(\Delta x)$Δy=dy+o(Δx)，$dy$dy 只是 $\Delta y$Δy 的线性主部。

例题精讲

例题 1（选择题）

设 $f(x)$f(x) 在 $x = a$x=a 处可导，则 $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a + h^2) - f(a)}{h} =$limh→0​hf(a+h2)−f(a)​=（　）。

A. $f'(a)$f′(a)　B. $2f'(a)$2f′(a)　C. $0$0　D. 不存在

答案：C

解析：$\dfrac{f(a + h^2) - f(a)}{h} = \dfrac{f(a + h^2) - f(a)}{h^2}\cdot h$hf(a+h2)−f(a)​=h2f(a+h2)−f(a)​⋅h，前一个因子趋于 $f'(a)$f′(a)，后一个趋于 $0$0，极限为 $0$0。分母要凑成与自变量增量 $h^2$h2 一致。

例题 2（填空题）

曲线 $y = x\ln x$y=xlnx 在点 $(e, e)$(e,e) 处的法线方程是 ______。

答案：$x + 2y - 3e = 0$x+2y−3e=0

解析：$y' = \ln x + 1$y′=lnx+1，在 $x = e$x=e 处 $y' = 2$y′=2，法线斜率 $-\dfrac{1}{2}$−21​，法线 $y - e = -\dfrac{1}{2}(x - e)$y−e=−21​(x−e)，整理得 $x + 2y - 3e = 0$x+2y−3e=0。

例题 3（解答题：分界点的连续性与可导性）

讨论 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - \cos x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$f(x)=⎩⎨⎧​x1−cosx​,0,​x=0x=0​ 在 $x = 0$x=0 处的连续性与可导性。

答题要点示范：

1. 连续性：$\lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0}\dfrac{x^2/2}{x} = 0 = f(0)$limx→0​x1−cosx​=limx→0​xx2/2​=0=f(0)，所以 $f$f 在 $x = 0$x=0 处连续。
2. 可导性：按定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$f′(0)=limx→0​x−0f(x)−f(0)​=limx→0​x21−cosx​=21​。
3. 结论：$f$f 在 $x = 0$x=0 处连续且可导，$f'(0) = \dfrac{1}{2}$f′(0)=21​。

点评：先连续后可导；分界点的导数一律回到定义，分子要减去 $f(0)$f(0)，不能直接对 $\dfrac{1 - \cos x}{x}$x1−cosx​ 套求导公式。

本节小结

• 导数定义的两种写法要会互换；变形的增量比先凑成定义，再算系数。
• 可导当且仅当左右导数存在且相等；分段点、绝对值为零的点要分左右讨论。
• 切线斜率 $f'(x_0)$f′(x0​)，法线斜率 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$−f′(x0​)1​；导数的物理意义是变化率，$s' = v$s′=v，$v' = a$v′=a。
• 可导必连续，连续未必可导；不连续直接判不可导。
• 一元函数可微与可导等价，$dy = f'(x)dx$dy=f′(x)dx；一阶微分形式不变，复合函数可以逐层求微分。