多元复合函数与隐函数求导

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

抽象复合函数的二阶偏导数计算量较大，可以出成选择题、填空题，也可以出成解答题；隐函数求偏导还会用在下一节的极值问题里。学完这一节，你应该能画出变量关系图写链式法则，不漏项地求抽象函数的二阶偏导数，并用公式法或直接求导法求隐函数的偏导数。

链式法则

公式与变量关系图

设 $z = f(u, v)$z=f(u,v)，$u = u(x, y)$u=u(x,y)，$v = v(x, y)$v=v(x,y)，各函数可微，则

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$∂x∂z​=∂u∂z​∂x∂u​+∂v∂z​∂x∂v​,∂y∂z​=∂u∂z​∂y∂u​+∂v∂z​∂y∂v​

画一张变量关系图：$z$z 连到中间变量 $u$u、$v$v，中间变量再连到自变量。求 $z$z 对某个自变量的偏导数，就是把从 $z$z 到这个自变量的每一条路径上的导数相乘，再把各条路径加起来。有几条路径就有几项，一条都不能漏。

两种特殊情形

中间变量都只依赖一个变量 $t$t 时，得到全导数 $\dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{du}{dt} + \dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{dv}{dt}$dtdz​=∂u∂z​dtdu​+∂v∂z​dtdv​。自变量本身也作为中间变量出现时，例如 $z = f(x, u(x, y))$z=f(x,u(x,y))，要分清 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​（总的偏导数）与 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$∂x∂f​（只对 $f$f 的第一个位置求偏导），写成 $f_1'$f1′​ 可以避免混淆。

抽象复合函数的偏导数

记号

对抽象函数 $f(u, v)$f(u,v)，用 $f_1'$f1′​ 表示对第一个中间变量的偏导数，$f_2'$f2′​ 表示对第二个的，$f_{12}''$f12′′​ 表示先对第一个、再对第二个求偏导。二阶偏导数连续时 $f_{12}'' = f_{21}''$f12′′​=f21′′​，最后可以合并。

二阶偏导数的关键

$f_1'$f1′​、$f_2'$f2′​ 仍然是 $u$u、$v$v 的函数，也就仍然是 $x$x、$y$y 的复合函数，对它们再求偏导时还要用链式法则，不能当常数。以 $z = f(xy, x + y)$z=f(xy,x+y)（$f$f 有连续二阶偏导数）为例：

$\frac{\partial z}{\partial x} = yf_1' + f_2'$∂x∂z​=yf1′​+f2′​

$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = f_1' + y\left(xf_{11}'' + f_{12}''\right) + \left(xf_{21}'' + f_{22}''\right) = f_1' + xyf_{11}'' + (x + y)f_{12}'' + f_{22}''$∂x∂y∂2z​=f1′​+y(xf11′′​+f12′′​)+(xf21′′​+f22′′​)=f1′​+xyf11′′​+(x+y)f12′′​+f22′′​

第一项 $f_1'$f1′​ 来自对 $yf_1'$yf1′​ 用乘积法则时 $y$y 的导数，最容易漏掉。

隐函数的偏导数

隐函数存在定理

设 $F(x, y, z)$F(x,y,z) 在点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$P0​(x0​,y0​,z0​) 的某邻域内有连续偏导数，$F(P_0) = 0$F(P0​)=0，$F_z(P_0) \neq 0$Fz​(P0​)=0，则方程 $F(x, y, z) = 0$F(x,y,z)=0 在 $P_0$P0​ 附近唯一确定一个有连续偏导数的函数 $z = z(x, y)$z=z(x,y)，满足 $z_0 = z(x_0, y_0)$z0​=z(x0​,y0​)。条件 $F_z \neq 0$Fz​=0 换成 $F_x \neq 0$Fx​=0 或 $F_y \neq 0$Fy​=0，就能确定 $x$x 或 $y$y 是另外两个变量的函数。