多元函数、偏导数与全微分

本节导读

多元函数微积分学本课用第 18 至 21 节共 4 节来讲：偏导数与全微分、复合函数与隐函数求导、极值、二重积分。常见资料转录的大纲对这一节的要求是：了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质；了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求全微分。

这一部分要求多为「了解」，但「连续、偏导数存在、可微」三者的关系可以出成概念选择题，偏导数和全微分的计算可以出成填空题。学完这一节，你应该能分清这几个概念，会在特殊点处按定义求偏导数，并熟练写出全微分。

多元函数的概念

定义域与几何意义

二元函数 $z = f(x, y)$z=f(x,y) 的定义域是平面上的点集，求法与一元函数相同：列出每一处限制再取交集，画在平面上通常是一块区域。二元函数的图形一般是空间中的一张曲面，例如 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$z=1−x2−y2​ 是上半球面。

有界闭区域上连续函数的性质

与一元函数在闭区间上的性质对应：在有界闭区域上连续的二元函数一定有界，一定能取得最大值和最小值，并能取得介于最小值与最大值之间的任何值。

二元函数的极限与连续

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)}f(x, y) = A$lim(x,y)→(x0​,y0​)​f(x,y)=A 要求点 $(x, y)$(x,y) 以任何方式趋于 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 时 $f(x, y)$f(x,y) 都趋于 $A$A。所以证明极限不存在的常用办法是：找两条路径，沿它们算出的极限不相等。例如 $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$f(x,y)=x2+y2xy​，沿直线 $y = kx$y=kx 趋于原点时 $f = \dfrac{k}{1 + k^2}$f=1+k2k​，随 $k$k 变化，所以在原点没有极限。

反过来，沿所有直线算出的极限都相同，也不能说明极限存在，曲线路径可能给出不同的值。连续的定义与一元相同：$\lim f(x, y) = f(x_0, y_0)$limf(x,y)=f(x0​,y0​)；多元初等函数在定义区域内连续。

偏导数

定义与计算

$f_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$fx​(x0​,y0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

计算时把其他变量看成常数，按一元函数求导。求某一点的偏导数，可以先把另一个变量的值代进去，变成一元函数再求导，常常省事得多。几何上，$f_x(x_0, y_0)$fx​(x0​,y0​) 是曲面被平面 $y = y_0$y=y0​ 截得的曲线在该点切线的斜率。

特殊点用定义

分段定义的函数在分界点处要用定义求偏导数。例如 $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$f(x,y)=x2+y2xy​（$(x, y) \neq (0, 0)$(x,y)=(0,0)），$f(0, 0) = 0$f(0,0)=0：$f(\Delta x, 0) = 0$f(Δx,0)=0，所以 $f_x(0, 0) = 0$fx​(0,0)=0，同理 $f_y(0, 0) = 0$fy​(0,0)=0。它在原点两个偏导数都存在，却连在原点都不连续——一元函数「可导必连续」的结论，对偏导数不成立。

全微分

定义与公式

若 $\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ρ=(Δx)2+(Δy)2​，称 $f$f 在该点可微，全微分 $dz = A\,dx + B\,dy$dz=Adx+Bdy，且 $A = f_x$A=fx​、$B = f_y$B=fy​，即

$dz = f_x\,dx + f_y\,dy$dz=fx​dx+fy​dy

判断一点处是否可微，按定义看 $\lim_{\rho \to 0}\dfrac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\rho}$limρ→0​ρΔz−fx​Δx−fy​Δy​ 是否为零。

几个概念之间的关系

由	可以推出	推不出
偏导数连续	可微	—
可微	连续，偏导数存在	偏导数连续
连续	—	偏导数存在，可微
偏导数存在	—	连续，可微