定积分的计算与反常积分

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：掌握定积分的换元积分法与分部积分法；理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法，会计算反常积分。

定积分的计算可以直接出成填空题，也是解答题（面积、体积、微分方程）中的一步；反常积分则要先判断是不是反常积分、收敛还是发散。学完这一节，你应该能在换元时同步换上下限，熟练使用对称性和几个常用公式，并能识别瑕点、判断反常积分的敛散性。

定积分的换元法与分部积分法

换元要同步换限

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$∫ab​f(x)dx 中令 $x = \varphi(t)$x=φ(t)，当 $t$t 从 $\alpha$α 变到 $\beta$β 时 $x$x 从 $a$a 变到 $b$b，则

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt$∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

换元的同时换上下限，积完直接代新变量的上下限，不必回代。例如 $\displaystyle\int_0^4\frac{dx}{1 + \sqrt{x}}$∫04​1+x​dx​，令 $t = \sqrt{x}$t=x​，$x$x 从 0 到 4 时 $t$t 从 0 到 2，原式 $= \displaystyle\int_0^2\frac{2t}{1 + t}dt = \left[2t - 2\ln(1 + t)\right]_0^2 = 4 - 2\ln 3$=∫02​1+t2t​dt=[2t−2ln(1+t)]02​=4−2ln3。

分部积分

$\displaystyle\int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du$∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu。$uv$uv 那一项要代上下限，常见的错误是只代上限、忘了减去下限处的值。

对称性、周期性与常用公式

结论	条件
$\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx = 0$∫−aa​f(x)dx=0	$f$f 是奇函数
$\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx = 2\int_0^{a}f(x)\,dx$∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx	$f$f 是偶函数
$\displaystyle\int_{a}^{a + T}f(x)\,dx = \int_0^{T}f(x)\,dx$∫aa+T​f(x)dx=∫0T​f(x)dx	$f$f 以 $T$T 为周期
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\,dx$∫02π​​f(sinx)dx=∫02π​​f(cosx)dx	$f$f 连续
$\displaystyle\int_0^{\pi}xf(\sin x)\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\,dx$∫0π​xf(sinx)dx=2π​∫0π​f(sinx)dx	$f$f 连续

对称区间上的积分，先把被积函数拆成奇函数部分和偶函数部分，奇函数部分直接为零。

另一个常用公式（华里士公式）：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx = \begin{cases} \dfrac{(n - 1)!!}{n!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ \dfrac{(n - 1)!!}{n!!}, & n \text{ 为奇数} \end{cases}$∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx=⎩⎨⎧​n!!(n−1)!!​⋅2π​,n!!(n−1)!!​,​n 为偶数n 为奇数​

其中 $n!!$n!! 是隔一个数相乘，例如 $5!! = 5 \times 3 \times 1$5!!=5×3×1，$4!! = 4 \times 2$4!!=4×2。

无穷区间上的反常积分

$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{b \to +\infty}\int_a^b f(x)\,dx$∫a+∞​f(x)dx=b→+∞lim​∫ab​f(x)dx，极限存在叫收敛，否则叫发散。$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$∫−∞+∞​ 要在中间某点拆成两个，两个都收敛才收敛。计算时可以照用牛顿-莱布尼茨公式，只是把 $F(+\infty)$F(+∞) 理解成 $\lim_{x \to +\infty}F(x)$limx→+∞​F(x)。例如 $\displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx = \left[-(x + 1)e^{-x}\right]_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1$∫0+∞​xe−xdx=[−(x+1)e−x]0+∞​=0−(−1)=1。

基准结论：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$∫1+∞​xpdx​ 当 $p > 1$p>1 时收敛，$p \leq 1$p≤1 时发散。

无界函数的反常积分

函数在积分区间内某点附近无界，这一点叫瑕点。瑕点在端点时用单侧极限定义；瑕点在区间内部时，要从瑕点处拆成两个积分，两个都收敛才收敛。基准结论：$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^{p}}$∫01​xpdx​ 当 $p < 1$p<1 时收敛，$p \geq 1$p≥1 时发散。