行列式的性质与计算

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：了解行列式的概念，掌握行列式的性质；会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

行列式是线性代数的计算基础，后面判断矩阵是否可逆、讨论方程组的解、求特征值都要用到。学完这一节，你应该能用性质把行列式化成三角形，会按行（列）展开，并会处理代数余子式的组合与范德蒙德行列式。

行列式的概念

定义

$n$n 阶行列式是所有取自不同行、不同列的 $n$n 个元素乘积的代数和，共 $n!$n! 项：

$D = \sum (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$D=∑(−1)τ(j1​j2​⋯jn​)a1j1​​a2j2​​⋯anjn​​

其中 $\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)$τ(j1​j2​⋯jn​) 是列标排列的逆序数，逆序数为偶数时该项取正号，为奇数时取负号。

几个直接结论

二阶、三阶行列式可以用对角线法则计算；上（下）三角形行列式和对角行列式等于主对角线元素的乘积。用定义判断某一项的符号，或者求含字母的行列式中某次幂的系数时，要逐项找出能产生这一次幂的乘积，再按逆序数定符号。

行列式的性质

1. 转置后行列式的值不变，所以对行成立的性质对列也成立。
2. 互换两行，行列式变号；两行相同时行列式为 0。
3. 某一行的公因子可以提到行列式外面；某一行全为 0 或两行成比例时，行列式为 0。
4. 若某一行的元素都是两数之和，行列式可以按这一行拆成两个行列式之和。
5. 把某一行的 $k$k 倍加到另一行上，行列式的值不变。

计算时常用性质 5 把行列式化成上三角形，例如

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 7 & 11 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$​123​257​3711​​=​100​211​312​​=​100​210​311​​=1

按行（列）展开定理

余子式与代数余子式

划去 $a_{ij}$aij​ 所在的第 $i$i 行、第 $j$j 列，剩下的 $n - 1$n−1 阶行列式叫余子式 $M_{ij}$Mij​；$A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$Aij​=(−1)i+jMij​ 叫代数余子式。

展开定理

行列式等于某一行各元素与其代数余子式乘积之和：

$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}$D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+⋯+ain​Ain​

而某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于 0，即 $k \neq i$k=i 时 $a_{k1}A_{i1} + \cdots + a_{kn}A_{in} = 0$ak1​Ai1​+⋯+akn​Ain​=0。实际计算时，先用性质把某一行（列）化出尽量多的 0，再按这一行（列）展开。

代数余子式的组合

$A_{i1}, A_{i2}, \ldots, A_{in}$Ai1​,Ai2​,…,Ain​ 与第 $i$i 行的元素无关。所以求 $k_1 A_{i1} + k_2 A_{i2} + \cdots + k_n A_{in}$k1​Ai1​+k2​Ai2​+⋯+kn​Ain​ 时，把第 $i$i 行换成 $k_1, k_2, \ldots, k_n$k1​,k2​,…,kn​，算出新的行列式即可。