洛必达法则与泰勒公式

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；理解并会用泰勒（Taylor）定理（上一节讲了罗尔、拉格朗日、柯西三个定理）。

到这里，求极限的工具就齐了：等价无穷小、两个重要极限、洛必达法则、泰勒公式。选择题、填空题里的极限计算，解答题里「已知极限求参数」，都要靠它们配合使用。学完这一节，你应该能判断什么时候用洛必达、什么时候用泰勒更省事，并熟练写出常用函数的麦克劳林展开。

洛必达法则

条件与做法

设 $x \to x_0$x→x0​（或 $x \to \infty$x→∞）时 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$g(x)f(x)​ 是 $\dfrac{0}{0}$00​ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型，$f$f、$g$g 在 $x_0$x0​ 附近（$x_0$x0​ 本身可以除外）可导且 $g'(x) \neq 0$g′(x)=0，如果 $\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$limg′(x)f′(x)​ 存在（或为无穷大），那么

$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$limg(x)f(x)​=limg′(x)f′(x)​

做法是「先验型、再各自求导、能化简就化简」：每用一次之前都要确认还是未定式；求导之后先约分、先把非零因子的极限算出来、先做等价代换，再决定要不要接着用。

失效的情形

法则只说「$\lim\dfrac{f'}{g'}$limg′f′​ 存在时等于原极限」。如果 $\lim\dfrac{f'}{g'}$limg′f′​ 不存在也不是无穷大，只能说明法则不适用，不能说明原极限不存在。例如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}$limx→0​sinxx2sinx1​​：分子分母求导后出现 $\cos\dfrac{1}{x}$cosx1​，没有极限；但原式 $= \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sin x}\cdot x\sin\dfrac{1}{x} = 1 \times 0 = 0$=limx→0​sinxx​⋅xsinx1​=1×0=0。

未定式的转化

类型	转化方法	例子
$0 \cdot \infty$0⋅∞	把一个因子放到分母，化成 $\dfrac{0}{0}$00​ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​	$\lim_{x \to 0^+}\sqrt{x}\ln x = \lim\dfrac{\ln x}{x^{-1/2}} = 0$limx→0+​x​lnx=limx−1/2lnx​=0
$\infty - \infty$∞−∞	通分、有理化或倒代换	$\lim_{x \to 0}\left(\cot x - \dfrac{1}{x}\right) = \lim\dfrac{x\cos x - \sin x}{x\sin x} = 0$limx→0​(cotx−x1​)=limxsinxxcosx−sinx​=0
$0^{0}$00、$\infty^{0}$∞0、$1^{\infty}$1∞	写成 $e^{v\ln u}$evlnu，先求指数的极限	$\lim_{x \to 0^+}x^{\sin x} = e^{\lim \sin x\ln x} = e^{0} = 1$limx→0+​xsinx=elimsinxlnx=e0=1

$0 \cdot \infty$0⋅∞ 型把哪个因子放到分母，原则是「放到分母后求导更简单」：对数函数一般留在分子。

泰勒公式

泰勒定理

若 $f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 的某邻域内有 $n + 1$n+1 阶导数，则

$f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k} + R_n(x)$f(x)=∑k=0n​k!f(k)(x0​)​(x−x0​)k+Rn​(x)

余项有两种写法：佩亚诺余项 $R_n(x) = o\left((x - x_0)^{n}\right)$Rn​(x)=o((x−x0​)n)，用于求极限、判断阶数；拉格朗日余项 $R_n(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1（$\xi$ξ 在 $x_0$x0​ 与 $x$x 之间），用于证明不等式和误差估计。$x_0 = 0$x0​=0 时叫麦克劳林公式。

常用的麦克劳林展开（$x \to 0$x→0）

函数	展开式
$e^{x}$ex	$1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3)$1+x+2!x2​+3!x3​+o(x3)
$\sin x$sinx	$x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + o(x^5)$x−3!x3​+5!x5​+o(x5)
$\cos x$cosx	$1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + o(x^4)$1−2!x2​+4!x4​+o(x4)
$\ln(1 + x)$ln(1+x)	$x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$x−2x2​+3x3​+o(x3)
$(1 + x)^{\alpha}$(1+x)α	$1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + o(x^2)$1+αx+2α(α−1)​x2+o(x2)
$\tan x$tanx	$x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$x+3x3​+o(x3)
$\arctan x$arctanx	$x - \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$x−3x3​+o(x3)

由此可以读出几组常用的「差的等价无穷小」：$x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$x−sinx∼6x3​，$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$tanx−x∼3x3​，$x - \ln(1 + x) \sim \dfrac{x^2}{2}$x−ln(1+x)∼2x2​。

用泰勒公式求极限与求导数值

展开到分母的阶

分子是差、等价代换用不上时，把分子各项展开到与分母相同的阶，低阶项相消后剩下的第一项就决定极限。展开阶数不够，会得到错误的「0」；展开过多只是多写几项，不会错。

由展开式读出高阶导数值

如果用别的办法得到了 $f(x) = \sum a_k x^{k} + o(x^{n})$f(x)=∑ak​xk+o(xn)，那么 $f^{(k)}(0) = k! \cdot a_k$f(k)(0)=k!⋅ak​。求 $f^{(n)}(0)$f(n)(0) 时，先写展开式再读系数，往往比连续求导快得多。

易错提醒

• ❌ 不验型就用洛必达，例如对 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos x}{1 + x}$limx→0​1+xcosx​ 求导得 $\lim\dfrac{-\sin x}{1} = 0$lim1−sinx​=0。✅ 它不是未定式，直接代入得 $1$1。

• ❌ 洛必达法则用后极限不存在，就断定原极限不存在。✅ 法则失效只说明此路不通，要换方法。

• ❌ 用泰勒公式时展开阶数不够，分子展开到 $x^2$x2、分母却是 $x^3$x3。✅ 分子要展开到分母的阶，必要时多写一项。

• ❌ $0^{0}$00 型直接写成 $0$0 或 $1$1。✅ 写成 $e^{v\ln u}$evlnu，算出指数的极限才有结论。

• ❌ 由展开式读高阶导数时漏乘 $k!$k!。✅ $x^{k}$xk 的系数是 $\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$k!f(k)(0)​，所以 $f^{(k)}(0) = k! \cdot a_k$f(k)(0)=k!⋅ak​。

例题精讲

例题 1（填空题：$\infty - \infty$∞−∞ 型）

$\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{e^{2x} - 1}\right) =$limx→0​(x1​−e2x−12​)= ______。

答案：$1$1

解析：通分得 $\dfrac{e^{2x} - 1 - 2x}{x(e^{2x} - 1)}$x(e2x−1)e2x−1−2x​。分子用泰勒公式 $e^{2x} - 1 - 2x = \dfrac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 2x^2 + o(x^2)$e2x−1−2x=2(2x)2​+o(x2)=2x2+o(x2)，分母 $x(e^{2x} - 1) \sim 2x^2$x(e2x−1)∼2x2，极限为 $1$1。

例题 2（解答题：泰勒公式求极限）

求 $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{x}\sin x - x - x^2}{x^3}$limx→0​x3exsinx−x−x2​。

答题要点示范：

1. 分母是 $x^3$x3，分子展开到 $x^3$x3：$e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$ex=1+x+2x2​+o(x2)，$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$sinx=x−6x3​+o(x3)。
2. 相乘只保留到 $x^3$x3：$e^{x}\sin x = x + x^2 + \dfrac{x^3}{2} - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3) = x + x^2 + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$exsinx=x+x2+2x3​−6x3​+o(x3)=x+x2+3x3​+o(x3)。
3. 代入：分子 $= \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$=3x3​+o(x3)，所求极限为 $\dfrac{1}{3}$31​。

点评：两个展开式相乘时，只需保留乘积里次数不超过 3 的项；$e^{x}$ex 写到 $x^2$x2 就够了，因为它要乘上至少一次的 $\sin x$sinx。

例题 3（填空题：由展开式求高阶导数）

设 $f(x) = x^2\ln(1 + x)$f(x)=x2ln(1+x)，则 $f^{(5)}(0) =$f(5)(0)= ______。

答案：$40$40

解析：$x^2\ln(1 + x) = x^3 - \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^5}{3} + o(x^5)$x2ln(1+x)=x3−2x4​+3x5​+o(x5)，$x^5$x5 的系数是 $\dfrac{1}{3}$31​，所以 $f^{(5)}(0) = 5! \times \dfrac{1}{3} = 40$f(5)(0)=5!×31​=40。

本节小结

• 洛必达法则：先验型，再求导，能化简就化简；法则失效不等于极限不存在。
• $0 \cdot \infty$0⋅∞ 化成商，$\infty - \infty$∞−∞ 通分或有理化，三种幂指型写成 $e^{v\ln u}$evlnu。
• 泰勒公式：佩亚诺余项求极限、定阶，拉格朗日余项证不等式；七个常用展开要背熟。
• 用泰勒公式求极限，分子展开到分母的阶；读高阶导数值记得乘 $k!$k!。