线性方程组的解

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：会用克拉默法则；理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件；理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念；会用初等行变换求解线性方程组。

线性方程组把前面的行列式、矩阵的秩、向量组的线性相关性串在一起。学完这一节，你应该能用秩判断解的情况，会从行最简形写出基础解系和通解，并会分情况讨论含参数的方程组。

克拉默法则

$n$n 个方程、$n$n 个未知数的方程组，若系数行列式 $D \neq 0$D=0，则有唯一解

$x_j = \frac{D_j}{D}, \qquad j = 1, 2, \ldots, n$xj​=DDj​​,j=1,2,…,n

其中 $D_j$Dj​ 是把 $D$D 的第 $j$j 列换成常数项得到的行列式。对齐次方程组，$D \neq 0$D=0 时只有零解，有非零解的充分必要条件是 $D = 0$D=0。克拉默法则主要用于理论判断和低阶方程组，高阶方程组一般用初等行变换求解。

齐次线性方程组

有非零解的条件

设 $A$A 是 $m \times n$m×n 矩阵，$Ax = 0$Ax=0 总有零解；它有非零解的充分必要条件是 $r(A) \lt n$r(A)<n。特别地，方程个数少于未知数个数（$m \lt n$m<n）时一定有非零解。

基础解系与通解

$Ax = 0$Ax=0 的解的线性组合仍是解。$r(A) = r \lt n$r(A)=r<n 时，可以找到 $n - r$n−r 个线性无关的解 $\xi_1, \ldots, \xi_{n - r}$ξ1​,…,ξn−r​，使任一解都能由它们线性表示，这组解叫基础解系，通解为 $x = k_1\xi_1 + \cdots + k_{n - r}\xi_{n - r}$x=k1​ξ1​+⋯+kn−r​ξn−r​。

求法：把 $A$A 用初等行变换化成行最简形，主元列对应的未知数用其余的自由未知量表示；自由未知量依次取 $(1, 0, \ldots, 0)$(1,0,…,0)、$(0, 1, \ldots, 0)$(0,1,…,0) 等，得到基础解系。

非齐次线性方程组

有解的条件

$Ax = b$Ax=b 有解 $\iff$⟺ $r(A) = r(A, b)$r(A)=r(A,b)。有解时，$r(A) = n$r(A)=n 则解唯一，$r(A) \lt n$r(A)<n 则有无穷多解；$r(A) \lt r(A, b)$r(A)<r(A,b) 时无解。

解的结构与通解

$Ax = b$Ax=b 的两个解之差是导出组 $Ax = 0$Ax=0 的解；$Ax = b$Ax=b 的一个解加上导出组的解，仍是 $Ax = b$Ax=b 的解。所以

$x = \eta^{*} + k_1\xi_1 + \cdots + k_{n - r}\xi_{n - r}$x=η∗+k1​ξ1​+⋯+kn−r​ξn−r​

其中 $\eta^{*}$η∗ 是 $Ax = b$Ax=b 的一个特解，$\xi_1, \ldots, \xi_{n - r}$ξ1​,…,ξn−r​ 是导出组的基础解系。求法：把增广矩阵 $(A, b)$(A,b) 化成行最简形，令自由未知量全为 0 得特解，再按齐次方程组的方法求基础解系。

含参数方程组的讨论

系数矩阵是方阵时，可以先算系数行列式：不等于 0 时有唯一解；等于 0 时把参数值代回增广矩阵，再化简判断。也可以直接把增广矩阵化成阶梯形，按最后一行分情况讨论。例如方程组 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$x1​+x2​+x3​=1，$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2$x1​+2x2​+3x3​=2，$x_1 + 3x_2 + ax_3 = b$x1​+3x2​+ax3​=b，增广矩阵化简后最后一行是 $(0, 0, a - 5, b - 3)$(0,0,a−5,b−3)：