求导法则与高阶导数

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式；了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

求导是后面所有内容的基本功：中值定理、极值、凹凸、积分、微分方程都离不开它。这一节的内容可以直接出成填空题、选择题的计算，也是解答题里的一步。学完以后，你应该能又快又准地求出各类函数的一阶、二阶导数，并会用几个公式求 $n$n 阶导数。

基本公式与四则运算

导数公式表

函数	导数	函数	导数
$x^{\mu}$xμ	$\mu x^{\mu - 1}$μxμ−1	$\sin x$sinx	$\cos x$cosx
$a^{x}$ax	$a^{x}\ln a$axlna	$\cos x$cosx	$-\sin x$−sinx
$e^{x}$ex	$e^{x}$ex	$\tan x$tanx	$\sec^2 x$sec2x
$\log_a x$loga​x	$\dfrac{1}{x\ln a}$xlna1​	$\cot x$cotx	$-\csc^2 x$−csc2x
$\ln x$lnx	$\dfrac{1}{x}$x1​	$\sec x$secx	$\sec x\tan x$secxtanx
$\arcsin x$arcsinx	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$1−x2​1​	$\arctan x$arctanx	$\dfrac{1}{1 + x^2}$1+x21​

$\arccos x$arccosx 与 $\arcsin x$arcsinx、$\mathrm{arccot}\,x$arccotx 与 $\arctan x$arctanx 的导数只差一个负号。

四则运算法则

$(u \pm v)' = u' \pm v'$(u±v)′=u′±v′，$(uv)' = u'v + uv'$(uv)′=u′v+uv′，$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​（$v \neq 0$v=0）。商的法则分子是「上导下不导减去上不导下导」，顺序不能颠倒，分母是 $v^2$v2。

复合函数求导与对数求导法

链式法则

$y = f(u)$y=f(u)，$u = g(x)$u=g(x)，则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$dxdy​=dudy​⋅dxdu​。多层复合时从外往里一层层剥，每剥一层乘一个导数。例如 $y = \ln\cos(e^{x})$y=lncos(ex)：

$y' = \frac{1}{\cos e^{x}}\cdot(-\sin e^{x})\cdot e^{x} = -e^{x}\tan e^{x}$y′=cosex1​⋅(−sinex)⋅ex=−extanex

对数求导法

函数是多个因式的积、商、乘方，或者是幂指函数 $u(x)^{v(x)}$u(x)v(x) 时，先取对数再求导更方便。幂指函数也可以写成 $u^{v} = e^{v\ln u}$uv=evlnu 再用链式法则，两种做法结果一样。

反函数、隐函数与参数方程

反函数的导数

若 $x = \varphi(y)$x=φ(y) 单调可导且 $\varphi'(y) \neq 0$φ′(y)=0，它的反函数 $y = f(x)$y=f(x) 也可导，且 $f'(x) = \dfrac{1}{\varphi'(y)}$f′(x)=φ′(y)1​，即「反函数的导数等于原函数导数的倒数」，注意两边要在对应的点上取值。用它可以推出 $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\cos y} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$(arcsinx)′=cosy1​=1−x2​1​。

隐函数的导数

方程 $F(x, y) = 0$F(x,y)=0 两边同时对 $x$x 求导，把 $y$y 看成 $x$x 的函数，含 $y$y 的项要乘 $y'$y′，再解出 $y'$y′。求二阶导数时对一阶导数的式子再求一次导，并把 $y'$y′ 代回去。

参数方程的导数

$x = \varphi(t)$x=φ(t)、$y = \psi(t)$y=ψ(t) 确定的函数：

$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\varphi'(t)}$dxdy​=φ′(t)ψ′(t)​,dx2d2y​=φ′(t)dtd​(dxdy​)​

二阶导数是「把一阶导数对 $t$t 求导，再除以 $\varphi'(t)$φ′(t)」，不是 $\dfrac{\psi''(t)}{\varphi''(t)}$φ′′(t)ψ′′(t)​。

高阶导数

常用的 $n$n 阶导数公式

函数	$n$n 阶导数
$e^{ax}$eax	$a^{n}e^{ax}$aneax
$\sin x$sinx	$\sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$sin(x+2nπ​)
$\cos x$cosx	$\cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$cos(x+2nπ​)
$\dfrac{1}{x + a}$x+a1​	$\dfrac{(-1)^{n}n!}{(x + a)^{n + 1}}$(x+a)n+1(−1)nn!​
$\ln(1 + x)$ln(1+x)	$\dfrac{(-1)^{n - 1}(n - 1)!}{(1 + x)^{n}}$(1+x)n(−1)n−1(n−1)!​

有理分式先拆成部分分式，再套 $\dfrac{1}{x + a}$x+a1​ 的公式。

莱布尼茨公式

$(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n}\mathrm{C}_n^{k}u^{(k)}v^{(n - k)}$(uv)(n)=∑k=0n​Cnk​u(k)v(n−k)

其中一个因子是低次多项式时最好用，因为它求几次导就变成零。例如求 $(x^2e^{2x})^{(10)}$(x2e2x)(10) 在 $x = 0$x=0 处的值，只有 $x^2$x2 求两次导的那一项不含 $x$x：$\mathrm{C}_{10}^{2}\cdot 2 \cdot 2^{8} = 45 \times 2 \times 256 = 23040$C102​⋅2⋅28=45×2×256=23040。

易错提醒

• ❌ $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$(vu​)′=v′u′​。✅ 商的导数要用 $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$v2u′v−uv′​。

• ❌ 复合函数漏乘内层导数，例如把 $(\sin 3x)'$(sin3x)′ 写成 $\cos 3x$cos3x。✅ 应是 $3\cos 3x$3cos3x，每一层都要乘上它的导数。

• ❌ 隐函数求导时把 $(y^2)'$(y2)′ 写成 $2y$2y。✅ $y$y 是 $x$x 的函数，$(y^2)' = 2yy'$(y2)′=2yy′。

• ❌ 参数方程的二阶导数写成 $\dfrac{\psi''(t)}{\varphi''(t)}$φ′′(t)ψ′′(t)​。✅ 先求 $\dfrac{dy}{dx}$dxdy​ 对 $t$t 的导数，再除以 $\varphi'(t)$φ′(t)。

• ❌ 把 $x^{x}$xx 当成幂函数求成 $x\cdot x^{x - 1}$x⋅xx−1，或当成指数函数求成 $x^{x}\ln x$xxlnx。✅ 底和指数都在变，要用 $e^{x\ln x}$exlnx 或取对数，$(x^{x})' = x^{x}(\ln x + 1)$(xx)′=xx(lnx+1)。

例题精讲

例题 1（填空题：幂指函数）

设 $y = x^{\sin x}$y=xsinx（$x > 0$x>0），则 $y' =$y′= ______。

答案：$x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$xsinx(cosxlnx+xsinx​)

解析：取对数 $\ln y = \sin x\ln x$lny=sinxlnx，两边对 $x$x 求导：$\dfrac{y'}{y} = \cos x\ln x + \dfrac{\sin x}{x}$yy′​=cosxlnx+xsinx​，再乘 $y$y。

例题 2（解答题：隐函数的二阶导数）

设 $y = y(x)$y=y(x) 由方程 $x^2 + xy + y^2 = 3$x2+xy+y2=3 确定，且 $y(1) = 1$y(1)=1，求 $y'(1)$y′(1) 与 $y''(1)$y′′(1)。

答题要点示范：

1. 两边对 $x$x 求导：$2x + y + xy' + 2yy' = 0$2x+y+xy′+2yy′=0，得 $y' = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$y′=−x+2y2x+y​，代入 $(1, 1)$(1,1) 得 $y'(1) = -1$y′(1)=−1。
2. 对 $2x + y + xy' + 2yy' = 0$2x+y+xy′+2yy′=0 再求导：$2 + 2y' + xy'' + 2(y')^2 + 2yy'' = 0$2+2y′+xy′′+2(y′)2+2yy′′=0。
3. 代入 $x = 1$x=1、$y = 1$y=1、$y' = -1$y′=−1：$2 - 2 + y'' + 2 + 2y'' = 0$2−2+y′′+2+2y′′=0，得 $y''(1) = -\dfrac{2}{3}$y′′(1)=−32​。

点评：求二阶导数时，不必先把 $y'$y′ 的分式求导，直接对「求导后的等式」再求一次导、代入数值，计算量小得多。

例题 3（解答题：参数方程）

设 $x = t^2$x=t2，$y = t^3 - 3t$y=t3−3t（$t > 0$t>0），求 $\dfrac{dy}{dx}$dxdy​、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$dx2d2y​，并求曲线上切线水平的点。

答题要点示范：

1. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2 - 3}{2t} = \dfrac{3}{2}\left(t - \dfrac{1}{t}\right)$dxdy​=2t3t2−3​=23​(t−t1​)。
2. $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right)}{2t} = \dfrac{3(t^2 + 1)}{4t^3}$dx2d2y​=2t23​(1+t21​)​=4t33(t2+1)​。
3. 切线水平即 $\dfrac{dy}{dx} = 0$dxdy​=0，$t > 0$t>0 时 $t = 1$t=1，对应点 $(1, -2)$(1,−2)。

点评：第 2 步的分母是 $\varphi'(t) = 2t$φ′(t)=2t，最容易漏掉；结果要用参数 $t$t 表示，不必化成 $x$x。

本节小结

• 公式表和四则运算法则要熟到不用想；商的法则注意顺序和分母平方。
• 复合函数由外到里逐层求导，每层都乘导数；积、商、幂指函数可用对数求导法。
• 反函数导数是原函数导数的倒数；隐函数对方程两边求导，$y$y 的函数要乘 $y'$y′。
• 参数方程：一阶 $\dfrac{\psi'}{\varphi'}$φ′ψ′​，二阶是一阶导数对 $t$t 求导后再除以 $\varphi'(t)$φ′(t)。
• $n$n 阶导数：记住五个基本公式，有理分式先拆项，乘积含多项式用莱布尼茨公式。