凹凸性、拐点、渐近线与曲率

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。大纲在凹凸性这一条后面专门加了注释，说明凹、凸是按二阶导数的符号来区分的；本课按通行教材的说法：$f''(x) > 0$f′′(x)>0 时图形是凹的（向上弯），$f''(x) < 0$f′′(x)<0 时是凸的（向下弯）。少数旧书把这两个词反过来用，做题时以二阶导数的符号为准。

弧微分和曲率是数学（一）、数学（二）考、数学（三）不考的内容，复习时不要漏掉。这一节的内容可以出成判断拐点、数渐近线条数的选择题，算曲率的填空题，也可以出成描绘函数图形的解答题。

凹凸性与拐点

判别法

在区间内 $f''(x) > 0$f′′(x)>0，图形是凹的，曲线位于每一点切线的上方；$f''(x) < 0$f′′(x)<0，图形是凸的，曲线位于切线的下方。凹凸性也可以用弦来理解：凹的曲线上，任意两点间的弦在曲线上方。

拐点

连续曲线上凹凸性发生改变的点叫拐点。拐点是曲线上的点，要写成坐标 $(x_0, f(x_0))$(x0​,f(x0​))。找拐点的步骤与找极值点类似：候选点是 $f''(x) = 0$f′′(x)=0 的点和 $f''(x)$f′′(x) 不存在的点；再看 $f''(x)$f′′(x) 在候选点两侧是否变号，变号才是拐点。另有一个充分条件：$f''(x_0) = 0$f′′(x0​)=0、$f'''(x_0) \neq 0$f′′′(x0​)=0 时，$(x_0, f(x_0))$(x0​,f(x0​)) 是拐点。

渐近线

类型	判定	渐近线
水平渐近线	$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$limx→+∞​f(x)=b 或 $\lim_{x \to -\infty}f(x) = b$limx→−∞​f(x)=b	$y = b$y=b
铅直渐近线	$x \to x_0$x→x0​（单侧即可）时 $f(x) \to \infty$f(x)→∞	$x = x_0$x=x0​
斜渐近线	$k = \lim\dfrac{f(x)}{x} \neq 0$k=limxf(x)​=0，$b = \lim\left[f(x) - kx\right]$b=lim[f(x)−kx]	$y = kx + b$y=kx+b

三点提醒：$x \to +\infty$x→+∞ 与 $x \to -\infty$x→−∞ 要分开算，两边可能各有一条，也可能两边是同一条；铅直渐近线的候选点是函数没有定义的点和定义域的端点，约分后极限有限的点只是可去间断点，不是渐近线；同一侧（例如 $x \to +\infty$x→+∞）有了水平渐近线，就不会再有斜渐近线。

函数图形的描绘

描绘函数图形按六步走：定义域与奇偶性、周期性；求 $f'(x)$f′(x)、$f''(x)$f′′(x) 及其零点和不存在的点；列表写出单调区间、极值、凹凸区间、拐点；求渐近线；补几个特殊点（与坐标轴的交点等）；最后连成光滑曲线。解答题如果要求「描绘图形」，表格和渐近线都要写在卷面上。

弧微分与曲率

弧微分

光滑曲线 $y = f(x)$y=f(x) 的弧微分是

$ds = \sqrt{1 + (y')^2}\,dx$ds=1+(y′)2​dx

参数方程 $x = x(t)$x=x(t)、$y = y(t)$y=y(t) 时，$ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$ds=(x′(t))2+(y′(t))2​dt。它也是第 16 节计算弧长的出发点。

曲率、曲率圆与曲率半径

曲率描述曲线弯曲的程度：

$K = \frac{\lvert y'' \rvert}{\left[1 + (y')^2\right]^{\frac{3}{2}}}$K=[1+(y′)2]23​∣y′′∣​

参数方程时 $K = \dfrac{\lvert x'y'' - x''y' \rvert}{\left[(x')^2 + (y')^2\right]^{\frac{3}{2}}}$K=[(x′)2+(y′)2]23​∣x′y′′−x′′y′∣​。曲率半径 $R = \dfrac{1}{K}$R=K1​；曲率圆的圆心在曲线凹的一侧的法线上，与该点的距离为 $R$R。直线处处 $K = 0$K=0；半径为 $a$a 的圆处处 $K = \dfrac{1}{a}$K=a1​。例如抛物线 $y = x^2$y=x2 在原点处 $y' = 0$y′=0、$y'' = 2$y′′=2，曲率 $K = 2$K=2，曲率半径 $R = \dfrac{1}{2}$R=21​。