定积分的几何应用

本节导读

常见资料转录的大纲要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值。这一节讲其中的几何量，下一节讲物理量和平均值。

几何应用可以出成求面积、体积的填空题，也可以出成解答题：先画图、求交点，再列积分。学完这一节，你应该能根据图形选对积分变量和公式，并能把每一类几何量的公式写对。

微元法

把所求量 $Q$Q 看成分布在区间 $[a, b]$[a,b] 上、可以累加的量：在 $[x, x + dx]$[x,x+dx] 上写出 $Q$Q 的近似增量 $dQ = q(x)\,dx$dQ=q(x)dx（以直代曲、以不变代变），再积分 $Q = \displaystyle\int_a^b q(x)\,dx$Q=∫ab​q(x)dx。下面的公式都是这样得到的，记不清时可以现场用微元法推一遍。

平面图形的面积

直角坐标

上下边界是 $y = f(x)$y=f(x)、$y = g(x)$y=g(x)（$f \geq g$f≥g）时，$A = \displaystyle\int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$A=∫ab​[f(x)−g(x)]dx，「上减下」；左右边界是 $x = \varphi(y)$x=φ(y)、$x = \psi(y)$x=ψ(y) 时，对 $y$y 积分，「右减左」。先画图、求交点，选让图形不用分块的那个变量；两条曲线在区间内交叉时，要在交点处分段。

例如 $y = x^2$y=x2 与 $y = 2x - x^2$y=2x−x2 交于 $x = 0$x=0、$x = 1$x=1，所围面积 $A = \displaystyle\int_0^1\left[(2x - x^2) - x^2\right]dx = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$A=∫01​[(2x−x2)−x2]dx=1−32​=31​。

参数方程与极坐标

曲线由参数方程 $x = x(t)$x=x(t)、$y = y(t)$y=y(t) 给出时，$A = \displaystyle\int\lvert y(t)x'(t) \rvert\,dt$A=∫∣y(t)x′(t)∣dt，上下限是对应的参数值。极坐标曲线 $r = r(\theta)$r=r(θ) 与射线 $\theta = \alpha$θ=α、$\theta = \beta$θ=β 围成的扇形区域面积是

$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$A=21​∫αβ​r2(θ)dθ

旋转体的体积

旋转方式	公式	说明
$y = f(x)$y=f(x) 绕 $x$x 轴	$V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$V=π∫ab​f2(x)dx	圆盘法，截面是圆
两曲线之间绕 $x$x 轴	$V = \pi\displaystyle\int_a^b \left[f^2(x) - g^2(x)\right]dx$V=π∫ab​[f2(x)−g2(x)]dx	截面是圆环，大圆减小圆
$y = f(x)$y=f(x) 绕 $y$y 轴	$V = 2\pi\displaystyle\int_a^b x\lvert f(x) \rvert\,dx$V=2π∫ab​x∣f(x)∣dx	柱壳法（$0 \leq a < b$0≤a<b）

绕 $y$y 轴旋转也可以把曲线写成 $x = \varphi(y)$x=φ(y) 后用圆盘法，两种做法结果相同，选计算简单的那种。

已知截面面积的立体体积

立体夹在平面 $x = a$x=a 与 $x = b$x=b 之间，垂直于 $x$x 轴的截面面积为 $A(x)$A(x)，则 $V = \displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$V=∫ab​A(x)dx。关键是写对 $A(x)$A(x)：先确定截面的形状，再用底面区域在 $x$x 处的宽度表示截面的边长或半径。例如底面是圆 $x^2 + y^2 \leq R^2$x2+y2≤R2、垂直于 $x$x 轴的截面都是正方形时，边长是 $2\sqrt{R^2 - x^2}$2R2−x2​，$V = \displaystyle\int_{-R}^{R}4(R^2 - x^2)\,dx = \frac{16}{3}R^3$V=∫−RR​4(R2−x2)dx=316​R3。

平面曲线的弧长与旋转体的侧面积

弧长

曲线的给法	弧长
$y = f(x)$y=f(x)，$a \leq x \leq b$a≤x≤b	$s = \displaystyle\int_a^b\sqrt{1 + (y')^2}\,dx$s=∫ab​1+(y′)2​dx
$x = x(t)$x=x(t)，$y = y(t)$y=y(t)，$\alpha \leq t \leq \beta$α≤t≤β	$s = \displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$s=∫αβ​(x′)2+(y′)2​dt
$r = r(\theta)$r=r(θ)，$\alpha \leq \theta \leq \beta$α≤θ≤β	$s = \displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\theta$s=∫αβ​r2+(r′)2​dθ