定积分的概念、性质与变限积分

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：理解定积分的概念；掌握定积分的性质及定积分中值定理；理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分把「积分」和「导数」连在一起：它可以出现在求极限、求导、讨论单调性和极值的各种题目里，是这一章与前一章衔接的地方。学完这一节，你应该能把和式极限写成定积分，会比较、估计定积分的大小，并熟练地对各种变限积分求导。

定积分的概念

定义与几何意义

把 $[a, b]$[a,b] 任意分成 $n$n 个小区间，在每个小区间上任取一点 $\xi_i$ξi​，作和 $\sum f(\xi_i)\Delta x_i$∑f(ξi​)Δxi​；当最大的小区间长度 $\lambda \to 0$λ→0 时，和的极限（与分法、取点无关）叫定积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$∫ab​f(x)dx。它只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母无关。几何意义是曲边梯形面积的代数和：$x$x 轴上方为正，下方为负。

闭区间上的连续函数一定可积；有界且只有有限个间断点的函数也可积。

用定义求和式的极限

把区间 $[0, 1]$[0,1] 分成 $n$n 等份、取右端点，得

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$limn→∞​n1​∑i=1n​f(ni​)=∫01​f(x)dx

遇到「$n$n 项和」的极限，先提出 $\dfrac{1}{n}$n1​，看剩下的每一项能否写成 $f\left(\dfrac{i}{n}\right)$f(ni​) 的形式。

定积分的性质与积分中值定理

常用性质

性质	内容
线性	$\displaystyle\int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx$∫ab​[αf+βg]dx=α∫ab​fdx+β∫ab​gdx
区间可加	$\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$∫ab​fdx=∫ac​fdx+∫cb​fdx（$c$c 在不在区间内都成立）
比较	在 $[a, b]$[a,b] 上 $f \leq g$f≤g，则 $\displaystyle\int_a^b f\,dx \leq \int_a^b g\,dx$∫ab​fdx≤∫ab​gdx
绝对值	$\left\lvert \displaystyle\int_a^b f\,dx \right\rvert \leq \displaystyle\int_a^b \lvert f \rvert\,dx$​∫ab​fdx​≤∫ab​∣f∣dx
估值	$m \leq f \leq M$m≤f≤M，则 $m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f\,dx \leq M(b - a)$m(b−a)≤∫ab​fdx≤M(b−a)

另外约定 $\displaystyle\int_a^a f\,dx = 0$∫aa​fdx=0，$\displaystyle\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$∫ba​fdx=−∫ab​fdx。比较两个定积分的大小时，先比较被积函数在区间上的大小，不必算出积分值。

积分中值定理

$f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$ξ∈[a,b]，使

$\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b - a)$∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a)

$f(\xi)$f(ξ) 就是 $f$f 在 $[a, b]$[a,b] 上的平均值（第 17 节还会用到）。证明题里它常用来把积分换成一个函数值。

积分上限的函数

求导公式

$f(x)$f(x) 连续时，$\Phi(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$Φ(x)=∫ax​f(t)dt 可导，且 $\Phi'(x) = f(x)$Φ′(x)=f(x)——这说明连续函数一定有原函数。上下限都是函数时：

$\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)\,dt = f(\varphi(x))\varphi'(x) - f(\psi(x))\psi'(x)$dxd​∫ψ(x)φ(x)​f(t)dt=f(φ(x))φ′(x)−f(ψ(x))ψ′(x)

被积函数里含 $x$x

求导之前要先把 $x$x 从被积函数里「请出去」：能提到积分号外的直接提出，例如 $\displaystyle\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x tf(t)\,dt$∫0x​(x−t)f(t)dt=x∫0x​f(t)dt−∫0x​tf(t)dt，求导得 $\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$∫0x​f(t)dt；提不出来的先换元，例如 $\displaystyle\int_0^x f(x - t)\,dt$∫0x​f(x−t)dt，令 $u = x - t$u=x−t，化为 $\displaystyle\int_0^x f(u)\,du$∫0x​f(u)du。