定积分的物理应用与平均值

本节导读

常见资料转录的大纲要求会用定积分表达和计算功、引力、压力、质心、形心等物理量及函数平均值。和曲率一样，定积分的物理应用是数学（一）、数学（二）考、数学（三）不考的内容。

物理应用题的难点不在积分，而在「列式」：选坐标、写微元。题目可以是填空题，也可以是解答题。学完这一节，你应该能对抽水做功、闸门压力、细杆引力、平面图形形心这几类问题，按固定步骤写出积分式。下文用 $\rho$ρ 表示水的密度、$g$g 表示重力加速度，结果一般保留 $\rho g$ρg。

微元法的三步

1. 建坐标、选变量：通常让 $x$x 表示深度或沿杆的位置，确定变化范围 $[a, b]$[a,b]。
2. 写微元：在 $[x, x + dx]$[x,x+dx] 这一小段上，把变化的量看成不变，写出所求量的近似值 $dQ$dQ。
3. 积分：$Q = \displaystyle\int_a^b dQ$Q=∫ab​dQ，最后注明单位。

微元写对，题目就做完了一大半；常见的错误都出在「这一小段移动了多远」「这一小段处在多深」「这一小段到质点多远」这几个量上。

变力做功

弹簧与变力

沿直线移动的变力 $F(x)$F(x) 从 $x = a$x=a 到 $x = b$x=b 所做的功是 $W = \displaystyle\int_a^b F(x)\,dx$W=∫ab​F(x)dx。弹簧在弹性限度内的拉力与伸长量成正比，$F = kx$F=kx，先由已知条件求出 $k$k。

抽水做功

把水抽出容器时，不同深度的水被提升的高度不同，要分层：设 $x$x 为某薄层离水面的深度，薄层厚 $dx$dx、截面积 $A(x)$A(x)，它的重力是 $\rho g A(x)\,dx$ρgA(x)dx，被提升的距离是「从 $x$x 处到出水口的高度」。若出水口就在池口，距离就是 $x$x；出水口更高时要加上那段高度。

液体的侧压力

水深 $h$h 处的压强是 $\rho g h$ρgh。平板竖直放在水中时，不同深度的压强不同，也要分层：深度 $x$x 处、厚 $dx$dx 的窄条，宽度为 $w(x)$w(x)，所受压力 $dF = \rho g x\,w(x)\,dx$dF=ρgxw(x)dx，再积分。例如宽 $a$a、高 $b$b 的矩形板竖直放置、上边与水面齐平，$F = \displaystyle\int_0^b \rho g x a\,dx = \frac{1}{2}\rho g a b^2$F=∫0b​ρgxadx=21​ρgab2。

引力

两质点间的引力 $F = \dfrac{Gm_1m_2}{r^2}$F=r2Gm1​m2​​。细杆对质点的引力不能直接把杆当成一个质点算，要把杆分成小段：长 $dx$dx 的一段质量 $\mu\,dx$μdx（$\mu$μ 为线密度），对质点的引力 $dF = \dfrac{Gm\mu\,dx}{r^2}$dF=r2Gmμdx​，$r$r 是这一小段到质点的距离。各小段的引力方向相同时直接积分；方向不同时先分解，利用对称性抵消一个分量，再积分另一个分量。

质心与形心

细杆的质心

线密度为 $\rho(x)$ρ(x) 的细杆放在 $[a, b]$[a,b] 上，质心坐标 $\bar{x} = \dfrac{\int_a^b x\rho(x)\,dx}{\int_a^b \rho(x)\,dx}$xˉ=∫ab​ρ(x)dx∫ab​xρ(x)dx​。

平面图形的形心

均匀薄片（形心）由 $0 \leq y \leq f(x)$0≤y≤f(x)、$a \leq x \leq b$a≤x≤b 给出时，面积 $A = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$A=∫ab​f(x)dx，

$\bar{x} = \frac{1}{A}\int_a^b xf(x)\,dx, \qquad \bar{y} = \frac{1}{A}\int_a^b\frac{1}{2}f^2(x)\,dx$xˉ=A1​∫ab​xf(x)dx,yˉ​=A1​∫ab​21​f2(x)dx

$\bar{y}$yˉ​ 里的 $\dfrac{1}{2}f(x)$21​f(x) 是窄条自身形心的高度。例如半圆形区域 $0 \leq y \leq \sqrt{R^2 - x^2}$0≤y≤R2−x2​，由对称性 $\bar{x} = 0$xˉ=0，$\bar{y} = \dfrac{\frac{1}{2}\int_{-R}^{R}(R^2 - x^2)\,dx}{\frac{1}{2}\pi R^2} = \dfrac{4R}{3\pi}$yˉ​=21​πR221​∫−RR​(R2−x2)dx​=3π4R​。

函数的平均值

连续函数 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上的平均值是