微分方程的概念与一阶方程

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。按常见资料转录的大纲，伯努利方程、全微分方程不在数学（二）的范围内（常见资料的说法，以当年大纲为准）。

一阶方程的解法都是「认类型、用方法」：先判断属于哪一类，再按对应步骤求通解，有初始条件时最后定常数。学完这一节，你应该能分清三类一阶方程，并熟练使用一阶线性方程的通解公式。

微分方程的基本概念

含有未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程，方程中未知函数最高阶导数的阶数叫方程的阶。代入方程后使方程成为恒等式的函数叫方程的解；含有相互独立的任意常数、且常数个数等于方程阶数的解叫通解；不含任意常数的解叫特解，用来确定常数的条件（如 $y(x_0) = y_0$y(x0​)=y0​）叫初始条件。

例如 $y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$y=C1​ex+C2​e2x 代入 $y'' - 3y' + 2y = 0$y′′−3y′+2y=0 成立，含两个独立的常数，是这个二阶方程的通解；而 $y = C_1 e^{x} + 3C_2 e^{x} = (C_1 + 3C_2)e^{x}$y=C1​ex+3C2​ex=(C1​+3C2​)ex 实际只含一个常数，不是通解。

可分离变量的方程

解法

形如 $\dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)$dxdy​=f(x)g(y) 的方程，分离变量后两边积分：

$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C$∫g(y)dy​=∫f(x)dx+C

例如 $y' = 2xy$y′=2xy：$\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$ydy​=2xdx，$\ln\lvert y \rvert = x^2 + C_1$ln∣y∣=x2+C1​，得 $y = Ce^{x^2}$y=Cex2。

注意常数解

除以 $g(y)$g(y) 时默认 $g(y) \neq 0$g(y)=0。若 $g(y_0) = 0$g(y0​)=0，则 $y = y_0$y=y0​ 也是解，要看它是否已包含在通解里；上例中 $y = 0$y=0 对应 $C = 0$C=0，已经包含。

齐次方程

形如 $\dfrac{dy}{dx} = \varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$dxdy​=φ(xy​) 的方程叫齐次方程。令 $u = \dfrac{y}{x}$u=xy​，则 $y = ux$y=ux，$\dfrac{dy}{dx} = u + x\dfrac{du}{dx}$dxdy​=u+xdxdu​，代入得可分离变量的方程

$\frac{du}{\varphi(u) - u} = \frac{dx}{x}$φ(u)−udu​=xdx​

求出 $u$u 后再用 $\dfrac{y}{x}$xy​ 代回。例如 $y' = \dfrac{y}{x} + e^{-y/x}$y′=xy​+e−y/x：$u + xu' = u + e^{-u}$u+xu′=u+e−u，$e^{u}du = \dfrac{dx}{x}$eudu=xdx​，得 $e^{y/x} = \ln\lvert x \rvert + C$ey/x=ln∣x∣+C。

一阶线性方程

通解公式

形如 $y' + P(x)y = Q(x)$y′+P(x)y=Q(x) 的方程叫一阶线性方程，$Q(x) \equiv 0$Q(x)≡0 时叫齐次的，否则叫非齐次的。通解公式为

$y = e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right)$y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)

公式可以用常数变易法推出：先解齐次方程得 $y = Ce^{-\int P(x)dx}$y=Ce−∫P(x)dx，再把 $C$C 换成 $C(x)$C(x) 代入原方程，求出 $C(x)$C(x)。