分部积分与几类函数的积分

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：掌握换元积分法与分部积分法（上一节讲了换元）；会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

分部积分处理「两类不同函数的乘积」，有理函数的积分靠部分分式，三角有理式和无理函数则先用代换化成有理函数。这些方法在定积分、微分方程里会反复用到。学完这一节，你应该能快速判断用哪种方法，并把部分分式的系数算准。

分部积分法

公式与选 $u$u 的顺序

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$∫udv=uv−∫vdu

用法的关键是把被积式拆成 $u$u 和 $dv$dv，使 $\displaystyle\int v\,du$∫vdu 比原积分容易。选 $u$u 的经验顺序是「反对幂三指」：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数，排在前面的作 $u$u，排在后面的与 $dx$dx 合成 $dv$dv。

被积函数的类型	取 $u$u	做法
多项式乘 $e^{ax}$eax 或 $\sin ax$sinax、$\cos ax$cosax	多项式	每用一次，多项式降一次；可用列表法
多项式乘 $\ln x$lnx 或反三角函数	$\ln x$lnx、反三角函数	一次就把对数、反三角函数求导消掉
$e^{ax}$eax 乘 $\sin bx$sinbx 或 $\cos bx$cosbx	任一个，两次要一致	用两次后出现原积分，移项解出

列表法

多项式乘指数或三角函数时，把多项式逐次求导、另一个因子逐次积分，排成两列，斜着相乘、符号正负交替，直到多项式求导为零。例如

$\int x^2e^{-x}dx = -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$∫x2e−xdx=−x2e−x−2xe−x−2e−x+C=−(x2+2x+2)e−x+C

有理函数的积分

部分分式

有理函数先看是不是真分式：分子次数不低于分母时，先做多项式除法，化成多项式加真分式。真分式按分母的因式拆开：

分母里的因式	对应的部分分式
一次因式 $x - a$x−a	$\dfrac{A}{x - a}$x−aA​
重因式 $(x - a)^{k}$(x−a)k	$\dfrac{A_1}{x - a} + \dfrac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(x - a)^{k}}$x−aA1​​+(x−a)2A2​​+⋯+(x−a)kAk​​
不可约二次因式 $x^2 + px + q$x2+px+q	$\dfrac{Bx + C}{x^2 + px + q}$x2+px+qBx+C​

求系数常用「代入法」：两边乘以某个因式后，令 $x$x 取使该因式为零的值，系数立刻出来；剩下的系数比较某次项即可。拆完后各项都是基本积分：一次因式积出对数，二次因式配方后积出对数加反正切。

三角函数有理式的积分

由 $\sin x$sinx、$\cos x$cosx 经四则运算构成的函数，总可以用万能代换 $t = \tan\dfrac{x}{2}$t=tan2x​ 化成有理函数：

$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}$sinx=1+t22t​,cosx=1+t21−t2​,dx=1+t22dt​

万能代换计算量往往很大，能用简单办法就先用简单办法：正弦或余弦的奇次幂凑微分；偶次幂用降幂公式；只含 $\sin^2 x$sin2x、$\cos^2 x$cos2x、$\tan x$tanx 的用 $t = \tan x$t=tanx；分母是 $1 \pm \cos x$1±cosx 的用半角公式。例如 $1 + \cos x = 2\cos^2\dfrac{x}{2}$1+cosx=2cos22x​，所以 $\displaystyle\int\frac{dx}{1 + \cos x} = \int\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}\,dx = \tan\frac{x}{2} + C$∫1+cosxdx​=∫21​sec22x​dx=tan2x​+C。