特征值、特征向量与相似对角化

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量；理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

这一节是前面行列式、秩、方程组知识的综合运用：求特征值要算行列式，求特征向量要解齐次方程组，判断能否对角化要数线性无关的特征向量。学完这一节，你应该能求特征值与特征向量，会判断并实现相似对角化，并会利用实对称矩阵特征向量的正交性。

特征值与特征向量

定义与求法

对 $n$n 阶方阵 $A$A，若数 $\lambda$λ 和非零向量 $\alpha$α 满足 $A\alpha = \lambda\alpha$Aα=λα，称 $\lambda$λ 为 $A$A 的特征值，$\alpha$α 为对应的特征向量。求法分两步：

1. 解特征方程 $\lvert \lambda E - A \rvert = 0$∣λE−A∣=0，求出全部特征值；
2. 对每个特征值 $\lambda_i$λi​，求齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$(λi​E−A)x=0 的基础解系，其非零线性组合就是对应的全部特征向量。

例如 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$A=(21​12​)，$\lvert \lambda E - A \rvert = (\lambda - 2)^2 - 1 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$∣λE−A∣=(λ−2)2−1=(λ−1)(λ−3)，特征值为 1 和 3。

常用性质

• 特征值之和等于主对角线元素之和 $\operatorname{tr}A$trA，特征值之积等于 $\lvert A \rvert$∣A∣；$A$A 可逆当且仅当 0 不是特征值。
• 若 $\lambda$λ 是 $A$A 的特征值、$\alpha$α 是对应的特征向量，则 $kA$kA、$A^m$Am、$f(A)$f(A)（$f$f 为多项式）、$A^{-1}$A−1、$A^{*}$A∗ 的特征值分别是 $k\lambda$kλ、$\lambda^m$λm、$f(\lambda)$f(λ)、$\dfrac{1}{\lambda}$λ1​、$\dfrac{\lvert A \rvert}{\lambda}$λ∣A∣​（后两个要求 $A$A 可逆），$\alpha$α 仍是对应的特征向量。
• $A^{T}$AT 与 $A$A 的特征值相同；属于不同特征值的特征向量线性无关。

相似矩阵

若有可逆矩阵 $P$P 使 $P^{-1}AP = B$P−1AP=B，称 $A$A 与 $B$B 相似。相似矩阵的特征多项式相同，因而特征值、迹、行列式都相同，秩也相同。这些都是必要条件：特征值相同的矩阵不一定相似。

相似对角化

充分必要条件

$n$n 阶矩阵 $A$A 可相似对角化 $\iff$⟺ $A$A 有 $n$n 个线性无关的特征向量 $\iff$⟺ 对每个 $k$k 重特征值 $\lambda$λ，都有 $r(\lambda E - A) = n - k$r(λE−A)=n−k（即恰好有 $k$k 个线性无关的特征向量）。$A$A 有 $n$n 个互不相同的特征值时一定可以对角化，但这只是充分条件。

方法

把 $n$n 个线性无关的特征向量依次排成矩阵 $P = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$P=(ξ1​,…,ξn​)，则 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$P−1AP=Λ=diag(λ1​,…,λn​)，其中 $\lambda_i$λi​ 是 $\xi_i$ξi​ 对应的特征值，顺序要一一对应。对角化的一个用处是算方阵的幂：$A^k = P\Lambda^k P^{-1}$Ak=PΛkP−1。

实对称矩阵

实对称矩阵的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量相互正交，并且一定可以对角化。更进一步，存在正交矩阵 $Q$Q 使 $Q^{T}AQ = Q^{-1}AQ = \Lambda$QTAQ=Q−1AQ=Λ。做法是：求出特征值和特征向量，重特征值对应的几个特征向量用施密特方法正交化，再把所有特征向量单位化，按列排成 $Q$Q。已知部分特征向量求其余特征向量时，常用「与已知特征向量正交」列方程。