微分中值定理与证明题

本节导读

常见资料转录的大纲对中值定理的要求是：理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。泰勒定理放到下一节和洛必达法则一起讲，这一节讲前三个，并专门讲证明题怎么写。

中值定理可以出成判断「哪个函数满足定理条件」的选择题，更典型的考法是解答题里的证明题：证明存在一点 $\xi$ξ，使某个含 $f(\xi)$f(ξ)、$f'(\xi)$f′(ξ) 的式子成立。学完这一节，你应该能准确写出三个定理的条件与结论，会用「还原法」构造辅助函数，并能写出条件齐全、步骤清楚的证明。

罗尔定理

条件与结论

若 $f(x)$f(x) 满足：① 在 $[a, b]$[a,b] 上连续；② 在 $(a, b)$(a,b) 内可导；③ $f(a) = f(b)$f(a)=f(b)，则存在 $\xi \in (a, b)$ξ∈(a,b)，使 $f'(\xi) = 0$f′(ξ)=0。几何意义：两端等高的光滑曲线上，至少有一点的切线是水平的。

三个条件缺一不可：$\lvert x \rvert$∣x∣ 在 $[-1, 1]$[−1,1] 上两端等高，但在 $0$0 处不可导，导数没有零点；$f(x) = x$f(x)=x 在 $[0, 1]$[0,1] 上光滑，但两端不等高。条件只是充分的，不满足条件时结论也可能碰巧成立，但不能用定理推。

用来数导函数的根

如果 $f(x)$f(x) 有 $n$n 个不同的零点，在每两个相邻零点之间用一次罗尔定理，$f'(x)$f′(x) 至少有 $n - 1$n−1 个零点。再结合 $f'(x)$f′(x) 是几次多项式，往往能把根的个数确定下来。

拉格朗日中值定理

条件与结论

若 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续、在 $(a, b)$(a,b) 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$ξ∈(a,b)，使

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

几何意义：曲线上至少有一点的切线平行于连接两端点的弦。罗尔定理是它在 $f(a) = f(b)$f(a)=f(b) 时的特例。$\xi$ξ 一般不是区间中点；只有二次函数的 $\xi$ξ 恰好是中点。

两个推论与两类用法

推论：在区间内 $f'(x) \equiv 0$f′(x)≡0，则 $f(x)$f(x) 是常数；$f'(x) \equiv g'(x)$f′(x)≡g′(x)，则 $f(x) - g(x)$f(x)−g(x) 是常数，常用来证明恒等式。用法一是证明不等式：把要比较的差写成 $f(b) - f(a)$f(b)−f(a)，再用 $\xi$ξ 的范围估计 $f'(\xi)$f′(ξ)；用法二是证明「存在 $\xi$ξ」的命题，把差商换成导数。

柯西中值定理

若 $f(x)$f(x)、$g(x)$g(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续、在 $(a, b)$(a,b) 内可导，且 $g'(x) \neq 0$g′(x)=0，则存在 $\xi \in (a, b)$ξ∈(a,b)，使

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(ξ)f′(ξ)​

分子分母用的是同一个 $\xi$ξ，这是它和「对 $f$f、$g$g 各用一次拉格朗日中值定理」的本质区别——各用一次得到的是两个不同的点。题目里出现两个不同函数的差之比时，考虑柯西中值定理；要证的式子里只有一个函数、却又不像拉格朗日的形式时，可以自己补一个合适的 $g(x)$g(x)，把式子凑成 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$g′(ξ)f′(ξ)​ 的样子。

构造辅助函数

还原法

要证「存在 $\xi$ξ 使某式等于零」，把式子里的 $\xi$ξ 换成 $x$x，看它是哪个函数的导数（或导数乘一个不为零的因子），那个函数就是辅助函数，再对它用罗尔定理。常见的对应关系：

要证的式子	辅助函数 $F(x)$F(x)
$f'(\xi) + f(\xi) = 0$f′(ξ)+f(ξ)=0	$e^{x}f(x)$exf(x)
$f'(\xi) - f(\xi) = 0$f′(ξ)−f(ξ)=0	$e^{-x}f(x)$e−xf(x)
$\xi f'(\xi) + f(\xi) = 0$ξf′(ξ)+f(ξ)=0	$xf(x)$xf(x)
$\xi f'(\xi) - f(\xi) = 0$ξf′(ξ)−f(ξ)=0	$\dfrac{f(x)}{x}$xf(x)​
$f'(\xi) + g'(\xi)f(\xi) = 0$f′(ξ)+g′(ξ)f(ξ)=0	$e^{g(x)}f(x)$eg(x)f(x)

最后一行是总规律：$f' + g'f$f′+g′f 乘上不为零的因子 $e^{g(x)}$eg(x)，正好是 $\left[e^{g(x)}f(x)\right]'$[eg(x)f(x)]′。

双中值问题

要证存在两个点 $\xi$ξ、$\eta$η 使某式成立，通常把区间在某点 $c$c 处分成两段，各用一次拉格朗日中值定理；或者对同一区间分别用拉格朗日与柯西中值定理，再把两个结果联立。

易错提醒

• ❌ 用罗尔定理时只验了 $f(a) = f(b)$f(a)=f(b)，没写连续、可导。✅ 三个条件都要写出来，阅卷看的就是条件是否齐全。

• ❌ 「对 $f$f、$g$g 各用一次拉格朗日中值定理，相除就得到柯西中值定理」。✅ 两次得到的点一般不同，不能约成同一个 $\xi$ξ。

• ❌ 「拉格朗日中值定理里的 $\xi$ξ 就是区间中点」。✅ 只有二次函数才是；一般的 $\xi$ξ 只知道在区间内。

• ❌ 把罗尔定理倒过来用：由 $f'(\xi) = 0$f′(ξ)=0 推出 $f(a) = f(b)$f(a)=f(b)。✅ 定理只有一个方向，导数有零点推不出两端等高。

• ❌ 辅助函数构造好后，忘了说明 $F(a) = F(b)$F(a)=F(b) 是怎么来的。✅ 要把端点值算出来写在卷面上。

例题精讲

例题 1（选择题）

下列函数在给定区间上满足罗尔定理全部条件的是（　）。

A. $\lvert x \rvert$∣x∣，$[-1, 1]$[−1,1]　B. $\dfrac{1}{x^2}$x21​，$[-1, 1]$[−1,1]　C. $x\sqrt{3 - x}$x3−x​，$[0, 3]$[0,3]　D. $x^2$x2，$[0, 1]$[0,1]

答案：C

解析：C 在 $[0, 3]$[0,3] 上连续，在 $(0, 3)$(0,3) 内可导，$f(0) = f(3) = 0$f(0)=f(3)=0。A 在 $0$0 处不可导；B 在 $0$0 处没有定义；D 两端不等高。对 C 求 $\xi$ξ：$f'(x) = \dfrac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}} = 0$f′(x)=23−x​6−3x​=0，得 $\xi = 2 \in (0, 3)$ξ=2∈(0,3)。

例题 2（解答题：构造辅助函数）

设 $f(x)$f(x) 在 $[0, 1]$[0,1] 上连续，在 $(0, 1)$(0,1) 内可导，$f(0) = f(1) = 0$f(0)=f(1)=0。证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ξ∈(0,1)，使 $f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$f′(ξ)=2ξf(ξ)。

答题要点示范：

1. 分析：要证 $f'(\xi) - 2\xi f(\xi) = 0$f′(ξ)−2ξf(ξ)=0，对照 $f' + g'f$f′+g′f，取 $g(x) = -x^2$g(x)=−x2，辅助函数 $F(x) = e^{-x^2}f(x)$F(x)=e−x2f(x)。
2. 验条件：$F(x)$F(x) 在 $[0, 1]$[0,1] 上连续，在 $(0, 1)$(0,1) 内可导；$F(0) = f(0) = 0$F(0)=f(0)=0，$F(1) = e^{-1}f(1) = 0$F(1)=e−1f(1)=0。
3. 用定理：由罗尔定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ξ∈(0,1)，使 $F'(\xi) = e^{-\xi^2}\left[f'(\xi) - 2\xi f(\xi)\right] = 0$F′(ξ)=e−ξ2[f′(ξ)−2ξf(ξ)]=0。
4. 结论：因为 $e^{-\xi^2} \neq 0$e−ξ2=0，所以 $f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$f′(ξ)=2ξf(ξ)。

点评：第 1 步是草稿上的分析，第 2 至 4 步是卷面上必须写的；最后一步要说明那个因子不为零，才能约去。

例题 3（解答题：用拉格朗日中值定理证不等式）

设 $0 < a < b$0<a<b，证明：$\dfrac{b - a}{1 + b^2} < \arctan b - \arctan a < \dfrac{b - a}{1 + a^2}$1+b2b−a​<arctanb−arctana<1+a2b−a​。

答题要点示范：

1. $f(x) = \arctan x$f(x)=arctanx 在 $[a, b]$[a,b] 上连续、在 $(a, b)$(a,b) 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ξ∈(a,b)，使 $\arctan b - \arctan a = \dfrac{b - a}{1 + \xi^2}$arctanb−arctana=1+ξ2b−a​。
2. 因为 $0 < a < \xi < b$0<a<ξ<b，所以 $1 + a^2 < 1 + \xi^2 < 1 + b^2$1+a2<1+ξ2<1+b2，即 $\dfrac{1}{1 + b^2} < \dfrac{1}{1 + \xi^2} < \dfrac{1}{1 + a^2}$1+b21​<1+ξ21​<1+a21​。
3. 各项乘 $b - a > 0$b−a>0，即得所证不等式。

点评：不等式两边出现「$b - a$b−a 乘一个导数式」，就是提示用拉格朗日中值定理；关键是第 2 步用 $\xi$ξ 的范围把 $f'(\xi)$f′(ξ) 夹住。

本节小结

• 罗尔：连续、可导、两端等高，得导数零点；$f$f 有 $n$n 个零点，$f'$f′ 至少 $n - 1$n−1 个。
• 拉格朗日：$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)，用于证不等式、证恒等式和「存在 $\xi$ξ」的命题。
• 柯西：两个函数用同一个 $\xi$ξ，题目出现两个函数差之比或 $\xi f'(\xi)$ξf′(ξ) 时考虑它。
• 构造辅助函数：把 $\xi$ξ 换成 $x$x，找出「谁的导数」；$f' + g'f$f′+g′f 对应 $e^{g(x)}f(x)$eg(x)f(x)。
• 卷面上写清辅助函数、三个条件、端点值、所用定理和最后的约去理由。