无穷小的比较与两个重要极限

本节导读

常见资料转录的大纲对这一部分的要求是：理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限；掌握极限存在的两个准则（上一节已讲），掌握利用两个重要极限求极限的方法。

等价无穷小代换是求极限最省力的工具，也是判断「谁是谁的高阶无穷小」这类选择题的基础；两个重要极限则是 $\dfrac{0}{0}$00​ 型三角函数极限和「$1^{\infty}$1∞」型幂指函数极限的出发点。学完这一节，你应该能熟练写出常用的等价无穷小，判断一个无穷小的阶，并用公式快速算出 $1^{\infty}$1∞ 型极限。

无穷小与无穷大

概念与关系

以 $0$0 为极限的变量叫无穷小，绝对值无限增大的变量叫无穷大。说一个函数是无穷小，一定要说明自变量的变化过程：$x^2$x2 在 $x \to 0$x→0 时是无穷小，在 $x \to \infty$x→∞ 时是无穷大。同一过程中，无穷大的倒数是无穷小；不为零的无穷小的倒数是无穷大。

极限与无穷小的关系是：$\lim f(x) = A$limf(x)=A 当且仅当 $f(x) = A + \alpha(x)$f(x)=A+α(x)，其中 $\alpha(x)$α(x) 是同一过程中的无穷小。证明题里常用这个式子把极限条件写成等式。

无穷小的性质

• 有限个无穷小的和、积仍是无穷小。
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，例如 $x \to \infty$x→∞ 时 $\dfrac{\sin x}{x} \to 0$xsinx​→0。
• 无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大：$x\sin x$xsinx 在 $x \to \infty$x→∞ 时无界，可是它在 $x = k\pi$x=kπ 处等于 $0$0，不是无穷大。

无穷小的比较

设 $\alpha$α、$\beta$β 是同一过程中的无穷小，$\beta \neq 0$β=0，看 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta}$limβα​：

极限 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta}$limβα​	名称	记法
$0$0	$\alpha$α 是比 $\beta$β 高阶的无穷小	$\alpha = o(\beta)$α=o(β)
$\infty$∞	$\alpha$α 是比 $\beta$β 低阶的无穷小
$c \neq 0$c=0	同阶无穷小
$1$1	等价无穷小	$\alpha \sim \beta$α∼β
$\lim\dfrac{\alpha}{\beta^{k}} = c \neq 0$limβkα​=c=0	$\alpha$α 是 $\beta$β 的 $k$k 阶无穷小

判断阶数的实用办法：把无穷小化成 $\alpha \sim cx^{k}$α∼cxk（$c \neq 0$c=0）的形式，$k$k 就是它关于 $x$x 的阶数。乘积的阶数相加，例如 $x^2\sin x \sim x^3$x2sinx∼x3 是三阶。

等价无穷小代换

常用等价无穷小（$x \to 0$x→0）

无穷小	等价于
$\sin x$sinx、$\tan x$tanx、$\arcsin x$arcsinx、$\arctan x$arctanx	$x$x
$\ln(1 + x)$ln(1+x)、$e^{x} - 1$ex−1	$x$x
$a^{x} - 1$ax−1（$a > 0$a>0）	$x\ln a$xlna
$1 - \cos x$1−cosx	$\dfrac{x^2}{2}$2x2​
$(1 + x)^{\mu} - 1$(1+x)μ−1	$\mu x$μx

表里的 $x$x 可以换成任何趋于零的式子 $u(x)$u(x)：$x \to 1$x→1 时 $\ln x = \ln[1 + (x - 1)] \sim x - 1$lnx=ln[1+(x−1)]∼x−1；$x \to 0$x→0 时 $e^{x^2} - 1 \sim x^2$ex2−1∼x2。前提是 $u(x) \to 0$u(x)→0。

代换的规则

只有乘积或商里的「整体因子」才能代换；加减运算中的一项不能单独代换。例如

$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + 2x)\left(e^{x^2} - 1\right)}{x\sin^2 x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x \cdot x^2}{x \cdot x^2} = 2$limx→0​xsin2xln(1+2x)(ex2−1)​=limx→0​x⋅x22x⋅x2​=2

这里每个因子都是整体代换，结果可靠。遇到分子是差的情形，要么先化成乘积（提公因式、有理化、通分），要么用第 9 节的泰勒公式。

两个重要极限

第一个：正弦与自变量之比

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$limx→0​xsinx​=1

推广形式是 $\lim\dfrac{\sin u}{u} = 1$limusinu​=1（$u \to 0$u→0）。$x$x 趋于其他点时，先换元让新变量趋于零，例如 $x \to \pi$x→π 时令 $t = x - \pi$t=x−π。

第二个：$e$e 的极限

$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e, \quad \lim_{u \to 0}(1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$limx→∞​(1+x1​)x=e,limu→0​(1+u)u1​=e

它的用途是处理 $1^{\infty}$1∞ 型：底数趋于 $1$1、指数趋于无穷。实用公式是：若 $u \to 1$u→1、$v \to \infty$v→∞，则

$\lim u^{v} = e^{\lim (u - 1)v}$limuv=elim(u−1)v

例如 $\lim_{x \to \infty}\left(\dfrac{x + 2}{x - 1}\right)^{x} = e^{\lim_{x \to \infty}\frac{3}{x - 1}\cdot x} = e^{3}$limx→∞​(x−1x+2​)x=elimx→∞​x−13​⋅x=e3。

易错提醒

• ❌ 在差里逐项代换：$\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$limx→0​x3tanx−sinx​ 把 $\tan x$tanx、$\sin x$sinx 都换成 $x$x，得 $0$0。✅ 先化成乘积 $\tan x(1 - \cos x) \sim x \cdot \dfrac{x^2}{2}$tanx(1−cosx)∼x⋅2x2​，极限是 $\dfrac{1}{2}$21​。

• ❌ $\lim_{x \to \infty}\dfrac{\sin x}{x} = 1$limx→∞​xsinx​=1。✅ 第一个重要极限要求 $x \to 0$x→0；$x \to \infty$x→∞ 时是有界函数乘无穷小，极限为 $0$0。

• ❌ 「$1^{\infty}$1∞ 型的极限就是 $1$1」。✅ 底数只是「趋于」1，指数又在变大，结果要用 $e^{\lim (u - 1)v}$elim(u−1)v 算。

• ❌ 「无界函数就是无穷大」。✅ 无穷大要求绝对值最终都大于任意给定的数，$x\sin x$xsinx 无界却不是无穷大。

• ❌ 用 $\sin u \sim u$sinu∼u 时不检查 $u$u 是否趋于零。✅ 例如 $x \to \dfrac{\pi}{2}$x→2π​ 时 $\sin x \to 1$sinx→1，不能换成 $x$x。

例题精讲

例题 1（选择题）

当 $x \to 0$x→0 时，下列无穷小中阶数最高的是（　）。

A. $\sqrt{1 + x^2} - 1$1+x2​−1　B. $x^2\sin x$x2sinx　C. $1 - \cos x^2$1−cosx2　D. $\arctan x^3$arctanx3

答案：C

解析：逐个化成 $cx^{k}$cxk：A 是 $\dfrac{x^2}{2}$2x2​，二阶；B 是 $x^3$x3，三阶；C 是 $\dfrac{(x^2)^2}{2} = \dfrac{x^4}{2}$2(x2)2​=2x4​，四阶；D 是 $x^3$x3，三阶。

例题 2（填空题）

$\lim_{x \to 0}\dfrac{\left(3^{x} - 1\right)\sin 2x}{x\ln(1 + x)} =$limx→0​xln(1+x)(3x−1)sin2x​= ______。

答案：$2\ln 3$2ln3

解析：$3^{x} - 1 \sim x\ln 3$3x−1∼xln3，$\sin 2x \sim 2x$sin2x∼2x，$\ln(1 + x) \sim x$ln(1+x)∼x，都是整体因子，代换后得 $\dfrac{x\ln 3 \cdot 2x}{x \cdot x} = 2\ln 3$x⋅xxln3⋅2x​=2ln3。

例题 3（解答题：$1^{\infty}$1∞ 型）

求 $\lim_{x \to 0}(\cos 2x)^{\frac{1}{x^2}}$limx→0​(cos2x)x21​。

答题要点示范：

1. 定型：$x \to 0$x→0 时底数 $\cos 2x \to 1$cos2x→1，指数 $\dfrac{1}{x^2} \to \infty$x21​→∞，是 $1^{\infty}$1∞ 型。
2. 套公式：原式 $= e^{\lim_{x \to 0}\frac{\cos 2x - 1}{x^2}}$=elimx→0​x2cos2x−1​。
3. 算指数：$\cos 2x - 1 \sim -\dfrac{(2x)^2}{2} = -2x^2$cos2x−1∼−2(2x)2​=−2x2，所以指数的极限是 $-2$−2。
4. 结论：原式 $= e^{-2}$=e−2。

点评：先写「是 $1^{\infty}$1∞ 型」再套公式，阅卷时看得出依据；等价代换时 $1 - \cos u$1−cosu 里的 $u$u 是 $2x$2x，别漏了平方。

本节小结

• 无穷小要说明变化过程；有界函数乘无穷小仍是无穷小；无穷大必无界，无界未必是无穷大。
• 比较阶：化成 $cx^{k}$cxk 看 $k$k；乘积的阶数相加。
• 等价代换只用于乘除中的整体因子，$x$x 可换成任何趋于零的 $u(x)$u(x)；差的形式先化成积。
• 第一个重要极限要 $u \to 0$u→0；$1^{\infty}$1∞ 型用 $\lim u^{v} = e^{\lim (u - 1)v}$limuv=elim(u−1)v。