假设检验：平均数与方差

本节导读

这一节对应大纲心理统计学第三章「假设检验」的前三节：检验的基本问题、平均数与平均数差异的显著性检验、方差及方差差异的显著性检验。相关系数和计数数据的检验放在下一节。假设检验是统计推断的核心，这一节的概念几乎每个都可能出单项选择或名词解释。

要掌握的是：假设检验的思路和步骤，两类错误及其关系，单侧与双侧检验的区别；会根据条件选择 Z 检验、t 检验、F 检验或非参数方法，会算自由度，会对照题目给出的临界值下结论。通行教材把方差未知时用的平均数检验叫 t 检验、方差已知时的叫 Z 检验，大纲原文写的是「方差已知」「方差未知」，意思相同。

检验的基本问题

虚无假设与备择假设

假设检验是先对总体参数作出某种假设，再用样本信息判断是否拒绝这一假设的统计方法。虚无假设（零假设，记作 $H_0$H0​）一般是「没有差异」「没有关系」的假设；备择假设（$H_1$H1​）是与它对立的假设，通常是研究者希望得到支持的研究假设。

假设检验的基本思想

假设检验依据小概率事件原理，带有反证法的性质：先假定虚无假设成立，计算在这一前提下得到当前样本结果（或更极端结果）的概率；如果这个概率小于事先规定的显著性水平 $\alpha$α，就认为「小概率事件居然发生了」，于是拒绝虚无假设、接受备择假设；否则不能拒绝虚无假设。

基本步骤：提出 $H_0$H0​ 和 $H_1$H1​；选择检验统计量并计算它的值；规定显著性水平，找出临界值；把统计量与临界值比较，作出统计决断。

两类错误与显著性水平

错误	含义	概率
α 错误（Ⅰ型错误、弃真错误）	虚无假设本来是真的，却拒绝了它	等于显著性水平 $\alpha$α
β 错误（Ⅱ型错误、取伪错误）	虚无假设本来是假的，却没有拒绝它	记作 $\beta$β

两者的关系：在样本容量一定时，α 减小则 β 增大，α 增大则 β 减小；要同时减小两类错误，只能增大样本容量。$1-\beta$1−β 叫统计检验力，即虚无假设为假时能正确拒绝它的概率。显著性水平常取 0.05 或 0.01，在 0.05 水平上拒绝虚无假设叫差异显著，在 0.01 水平上拒绝叫差异极其显著。

单侧检验与双侧检验

检验	适用的问题	拒绝域	0.05 水平的 Z 临界值
双侧检验	只问有没有差异，不问方向，$H_1:\mu\ne\mu_0$H1​:μ=μ0​	分布两尾，各占 $\alpha/2$α/2	1.96
单侧检验	事先有理由确定差异的方向，如 $H_1:\mu>\mu_0$H1​:μ>μ0​	分布一尾，占 $\alpha$α	1.645

同一显著性水平下，单侧检验的临界值绝对值较小，更容易拒绝虚无假设，所以用单侧检验必须在收集数据之前就有充分的理由。

平均数的显著性检验

平均数的显著性检验是检验一个样本平均数与已知的总体平均数 $\mu_0$μ0​ 之间的差异是否显著：

条件	检验统计量	自由度
总体正态（或接近正态），方差已知	$Z=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$Z=σ/n​Xˉ−μ0​​	不需要
总体正态（或接近正态），方差未知	$t=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$t=s/n​Xˉ−μ0​​	$n-1$n−1

平均数差异的显著性检验

检验两个样本平均数之差是否显著，要先分清两个样本是独立样本（两组被试互不相关）还是相关样本（同一组被试前后测两次，或配对的两组被试）。

情形	检验方法	自由度
两总体正态，方差已知	Z 检验：$Z=\dfrac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}$Z=σ12​/n1​+σ22​/n2​​Xˉ1​−Xˉ2​​	不需要
方差未知但相等（独立样本）	t 检验，用合并方差 $s_p^2$sp2​ 计算标准误	$n_1+n_2-2$n1​+n2​−2
方差未知且不等（独立样本）	校正的 t 检验（t′ 检验），对临界值或自由度作校正	校正后的自由度
相关样本	对每对数据的差值 $d$d 作检验：$t=\dfrac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}$t=sd​/n​dˉ​	配对数 $n-1$n−1

方差未知但相等时，合并方差为：

$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},\qquad t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{s_p^2\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}}$$sp2​=n1​+n2​−2(n1​−1)s12​+(n2​−1)s22​​,t=sp2​(n1​1​+n2​1​)​Xˉ1​−Xˉ2​​

两组方差是否相等，要先用下面讲的 F 检验（方差齐性检验）判断。