相关分析与计数数据的检验

本节导读

这一节把大纲心理统计学里分在两章的内容放在一起讲：第一章「数据一致性测量」里各种相关系数的计算，第三章「相关系数及其差异的显著性检验」和「计数数据的检验」。核心任务有两个：根据两列数据的类型选对相关系数；根据数据是计数数据还是测量数据选对检验方法。

单项选择题可能问某种情境该用哪种相关系数、哪种 χ² 检验，或让你算积差相关、等级相关、χ² 值和自由度；名词解释可能考「相关系数」「点二列相关」「χ² 检验」；简答可能考积差相关的适用条件。题目要用的临界值都直接给出。

相关与相关系数

两个变量之间不精确、不稳定的变化关系叫相关关系，分正相关（一个变量增大，另一个也倾向增大）、负相关（一个增大，另一个倾向减小）和零相关。相关的程度用相关系数表示，取值在 −1 到 +1 之间：正负号表示方向，绝对值表示密切程度，绝对值越接近 1 越密切。相关系数不是等距的量数，不能说 0.8 是 0.4 的两倍；相关也不等于因果。

积差相关

积差相关（皮尔逊相关）的适用条件：两列变量都是连续的测量数据（等距或等比），成对出现；两列变量各自的总体都呈正态分布；两变量之间是线性关系；样本一般不少于 30 对。用离差 $x=X-\bar{X}$x=X−Xˉ、$y=Y-\bar{Y}$y=Y−Yˉ 表示：

$$r=\frac{\sum xy}{\sqrt{\sum x^2\,\sum y^2}}=\frac{\sum xy}{N\sigma_X\sigma_Y}$$r=∑x2∑y2​∑xy​=NσX​σY​∑xy​

等级相关

斯皮尔曼等级相关

适用于两列顺序数据，或不满足积差相关条件、可以转换成等级的测量数据。设 $D$D 为每对数据的等级之差，$n$n 为对数：

$$r_R=1-\frac{6\sum D^2}{n(n^2-1)}$$rR​=1−n(n2−1)6∑D2​

肯德尔和谐系数

适用于 $k$k 个评价者对 $N$N 个对象评定等级，考察这些评价者的评定是否一致。设 $R_i$Ri​ 为每个对象所得等级之和，$S$S 为各 $R_i$Ri​ 与其平均数的离差平方和：

$$W=\frac{12S}{k^2(N^3-N)}$$W=k2(N3−N)12S​

$W$W 在 0 到 1 之间，越接近 1，评价者之间越一致。它也常用来表示评分者信度。

点二列相关、二列相关与多系列相关

相关	两列数据的类型	典型用途
点二列相关	一列是正态的连续变量；另一列是真正的二分变量，只有两类且两类之间没有连续性，如性别、题目答对与答错	考察是非题、选择题这类二分记分题目的区分度
二列相关	两列都是正态的连续变量，但其中一列被人为地按某个标准分成两类，如把成绩分为及格与不及格	考察被人为二分的变量与另一连续变量的关系
多系列相关	一列是正态的连续变量，另一列被人为分成多个有序的类别，如优、良、中、差	等级评定结果与连续变量的关系

点二列相关的公式为 $r_{pb}=\dfrac{\bar{X}_p-\bar{X}_q}{s_t}\sqrt{pq}$rpb​=st​Xˉp​−Xˉq​​pq​，其中 $\bar{X}_p$Xˉp​、$\bar{X}_q$Xˉq​ 是二分变量两类对应的连续变量的平均数，$s_t$st​ 是连续变量的标准差，$p$p、$q$q 是两类所占的比例。二列相关的公式把 $\sqrt{pq}$pq​ 换成 $\dfrac{pq}{y}$ypq​，$y$y 是正态曲线在 $p$p 分界处的高度。

相关系数的显著性检验、差异检验与合并

内容	方法
积差相关系数是否显著（$H_0:\rho=0$H0​:ρ=0）	$t=\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$t=1−r2​rn−2​​，自由度 $n-2$n−2；也可直接查相关系数临界值表
斯皮尔曼等级相关	样本小时查等级相关临界值表，样本大时用 t 或 Z 近似
肯德尔和谐系数	对象数较多时用 $\chi^2=k(N-1)W$χ2=k(N−1)W 检验，自由度 $N-1$N−1
点二列相关	与积差相关的检验方法相同
两个独立样本积差相关系数的差异	先把两个 $r$r 都转换成费舍 $Z_r$Zr​，再作 Z 检验
几个相关系数的合并	不能直接平均，要先转换成 $Z_r$Zr​，以 $n-3$n−3 为权数加权平均，再转换回 $r$r

计数数据的检验

比率的检验

比率（百分比）是计数数据，样本较大、$np$np 和 $nq$nq 都不小于 5 时，可以用正态近似作 Z 检验：样本比率与总体比率比较时 $Z=\dfrac{p-p_0}{\sqrt{p_0q_0/n}}$Z=p0​q0​/n​p−p0​​；两个独立样本的比率差异，用合并比率计算标准误后作 Z 检验。