数据的整理与描述统计

本节导读

从这一节起进入心理统计学，共五节。这一节对应大纲心理统计学第一章「研究中常见数据的特点与初步整理」的前半：数据有哪几类，怎样把一堆原始数据整理成次数分布表和统计图，怎样用集中量数和差异量数描述一组数据。同一章后半的「各种相关系数的计算」放在第 14 节。

单项选择题可能让你判断数据的类型，或给几个数算平均数、中数、标准差、变异系数，或问某种情况下该用哪个量数；名词解释可能考「中数」「标准差」「变异系数」。这一节公式不难，但每个量数的适用条件要记清，计算时先写公式再代数。

常见数据的特点与分类

心理与教育研究中的数据有三个特点：随机性与变异性（同一测量重复进行，结果会有波动）、离散性（数据是一个一个的观测值）、规律性（大量数据又呈现一定的分布规律）。

分类依据	类别
数据的来源	计数数据：点计个数得到，如人数、次数；测量数据：借助测量工具得到，如分数、反应时
取值是否连续	离散数据：只能取整数值，如人数；连续数据：任意两个值之间还可以有无限多个值，如时间、身高
测量的水平	称名数据、顺序数据、等距数据、等比数据（见下表）

测量水平	特点	例子	可用的统计量
称名数据	只表示类别，数字没有大小意义	性别编码、车牌号	次数、比例、众数
顺序数据	能排出先后顺序，但相邻等级间距不一定相等	名次、满意程度等级	中数、等级相关
等距数据	有相等单位，没有绝对零点，可以加减	摄氏温度、智力测验分数	平均数、标准差、积差相关
等比数据	有相等单位，又有绝对零点，可以乘除	身高、体重	上面各种，加上几何平均数、变异系数

连续数据要理解为一个区间：测得的整数分数 10，表示的是 9.5 到 10.5 之间。顺序数据排等级时，几个数据相同就取它们所占等级的平均数：例如 4、7、7、9 排成 1、2.5、2.5、4。

数据的初步整理

计数数据先分类计数，制成统计表（简单表、分组表、复合表），求出各类的相对次数（比例），再画条形图或圆形图。测量数据数量较多时，要编制次数分布表，大纲列了六步：

步骤	做法
求全距	最大值减最小值，$R=X_{\max}-X_{\min}$R=Xmax​−Xmin​
确定组数	一般取 8 至 18 组，数据多时多分几组；也可用经验公式 $K=1.87(N-1)^{2/5}$K=1.87(N−1)2/5 估计
求组距	全距除以组数，再取整为 2、3、5、10 这类便于计算的数
确定分组的精确上、下限	最低一组要包含最小值，下限一般取组距的整数倍；整数分数的精确界限是表述界限各向外扩 0.5
登记次数	逐个把数据归入相应的组，划记计数
标出组中值	组中值等于该组精确上限与精确下限的平均数

例如分数都是整数、组距为 5 时，「60～64」这一组的精确下限是 59.5，精确上限是 64.5，组中值是 62。

在次数分布表上还可以求累积次数：从最低组往上逐组相加叫向上累积，从最高组往下相加叫向下累积，再除以总次数得累积百分数。次数分布表能把杂乱的数据变得有序，看出数据集中在哪里、怎样分布。次数分布图常用两种：直方图，以矩形的面积表示各组的次数；次数多边形，以各组的组中值为横坐标、次数为纵坐标描点，再用直线连起来。

集中量数

算术平均数

算术平均数是一组数据的总和除以数据的个数：

$$\bar{X}=\frac{\sum X}{N}$$Xˉ=N∑X​

已经分组的数据用组中值 $X_c$Xc​ 和各组次数 $f$f 近似计算：$\bar{X}=\dfrac{\sum fX_c}{N}$Xˉ=N∑fXc​​。几组数据合并时要用加权平均数，以各组人数为权数：

$$\bar{X}_{\text{总}}=\frac{n_1\bar{X}_1+n_2\bar{X}_2+\cdots+n_k\bar{X}_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}$$Xˉ总​=n1​+n2​+⋯+nk​n1​Xˉ1​+n2​Xˉ2​+⋯+nk​Xˉk​​

它的性质：各数据与平均数的离差之和等于 0；每个数据都加上（或乘以）同一个常数，平均数也加上（或乘以）这个常数。算术平均数反应灵敏、计算简单、适合进一步的代数运算；使用条件是数据同质、准确，没有极端值，也没有模糊不清的数据，否则会失去代表性。

中数、众数和几何平均数

中数（中位数）是按大小排列后位于中间位置的那个数：数据个数为奇数时取正中间的数，为偶数时取中间两个数的平均数。中数不受极端值影响，数据中有极端值、有个别数据不确切或分布明显偏态时，用它代表一般水平比较合适。众数是一组数据中出现次数最多的那个数值，适合称名数据，也可以粗略地说明集中趋势。