正态分布、抽样分布与参数估计

本节导读

这一节对应大纲心理统计学第二章「数据的分布及总体参数的估计」，是从描述统计走向推论统计的桥梁：先认识正态分布和二项分布，再理解「从样本推断总体」靠的是抽样分布，最后学会求总体平均数和总体方差的置信区间。

单项选择题可能给平均数、标准差和正态分布表上的面积，让你求某个分数段的人数比例，或算标准分数、标准误、置信区间；名词解释可能考「标准误」「抽样分布」「置信区间」；简答可能考「正态分布曲线的特点」。本课的题目凡要查表的，都直接给出临界值或面积。

正态分布

正态分布及其曲线的特点

特点	说明
形状	单峰、对称的钟形曲线，以平均数为中心左右对称
三个集中量数	平均数、中数、众数相等，都位于曲线的最高点
两尾	向左右无限延伸，与横轴渐近但不相交
面积	曲线下的总面积为 1；平均数上下各 1 个标准差之间约占 68.26%，上下 1.96 个标准差之间占 95%，上下 2.58 个标准差之间占 99%，上下 3 个标准差之间约占 99.73%
参数	由平均数 $\mu$μ 和标准差 $\sigma$σ 决定：$\mu$μ 决定曲线的位置，$\sigma$σ 决定曲线的高矮胖瘦

标准正态分布与正态分布表

平均数为 0、标准差为 1 的正态分布叫标准正态分布。任何正态分布都可以通过 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$Z=σX−μ​ 转换成标准正态分布。正态分布表列出了 Z 值与它对应的面积（概率）、纵线高度的关系，常见的用法有：已知 Z 值求某一区间的面积，已知面积求对应的 Z 值，已知 Z 值求曲线的高度。

查表求比例时，抓住两点：曲线以平均数为界左右各占 0.5；对称的两段面积相等。例如已知 Z 在 0 到 1.5 之间的面积为 0.4332，那么 Z 大于 1.5 的面积就是 $0.5-0.4332=0.0668$0.5−0.4332=0.0668。

正态分布在研究中的应用

正态分布在心理与教育研究中有几种常见用途：把等级评定的结果转化为测量数据；用 Z 值来确定测验题目的难度，使难度成为等距的量；在能力分组或等级评定时，按 Z 量尺上等距划分来确定各组的人数；在整理数据时把落在平均数上下 3 个标准差以外的数据看作异常值。

标准分数及其应用

标准分数（Z 分数）是以标准差为单位，表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数：

$$Z=\frac{X-\bar{X}}{s}$$Z=sX−Xˉ​

一组数据转换成 Z 分数后，平均数为 0、标准差为 1；Z 分数没有单位，正负号表示在平均数之上还是之下，绝对值表示离平均数有多远。它的用途有：比较一个人在性质不同的几个测验上的相对位置；把几种性质不同的成绩换成 Z 分数后再相加，求出可比较的总分；作为其他标准测验分数的基础。为了避免小数和负数，常作线性转换，如 T 分数：

$$T=10Z+50$$T=10Z+50

二项分布

二项分布是试验只有两种可能结果（成功概率为 $p$p、失败概率为 $q=1-p$q=1−p）、独立重复 $n$n 次时，成功次数的概率分布。它的平均数和标准差为：

$$\mu=np,\qquad \sigma=\sqrt{npq}$$μ=np,σ=npq​

$p=q$p=q 时二项分布对称；$p\ne q$p=q 但 $np$np 与 $nq$nq 都不小于 5 时，二项分布接近正态分布，可以用正态分布来近似处理，例如判断一个人在是非题测验中答对的题数是否超出了猜测的范围。

抽样分布与标准误

从总体中反复随机抽取容量为 $n$n 的样本，每个样本都可以算出一个统计量（如平均数），这个统计量的概率分布就叫抽样分布。抽样分布的标准差叫标准误，它反映抽样误差的大小。

样本平均数的抽样分布有三条规律：它的平均数等于总体平均数 $\mu$μ；总体为正态分布时，样本平均数的分布也是正态分布，总体不是正态分布但样本较大（一般 $n\ge30$n≥30）时也接近正态分布；它的标准误为

$$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$σXˉ​=n​σ​

总体标准差未知时，用样本标准差 $s$s（分母为 $n-1$n−1）估计，标准误为 $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$n​s​，这时样本平均数的标准化值服从自由度为 $n-1$n−1 的 t 分布。t 分布也是对称的单峰分布，自由度越小越「矮胖」，自由度越大越接近标准正态分布。

点估计与区间估计

点估计是用一个样本统计量的值直接作为总体参数的估计值，例如用样本平均数估计总体平均数。好的估计量应具备无偏性、有效性、一致性和充分性；样本方差用 $n-1$n−1 作分母，正是为了得到总体方差的无偏估计。

区间估计是根据样本统计量和抽样分布，以一定的可靠程度推断总体参数所在的区间。这个区间叫置信区间，可靠程度叫置信度（$1-\alpha$1−α），$\alpha$α 是显著性水平：置信度为 95% 时 $\alpha=0.05$α=0.05，为 99% 时 $\alpha=0.01$α=0.01。在样本量不变时，置信度越高，区间越宽。