随机变量与分布函数

本节导读

常见资料转录的考试大纲把「分布和分布函数的概念」列为概率论部分的第一项。随机变量把随机试验的结果用数表示出来，分布律、概率密度、分布函数就是描述它的三种工具：离散型用分布律，连续型用概率密度，两种都可以用分布函数。

试卷的数学小题可能考：由分布律或密度的性质求待定常数，判断一个函数能不能做分布函数，用分布函数或密度求某个区间上的概率。学完以后，你应该能在三种工具之间来回转换，并用它们算出概率。

随机变量

离散型与连续型

取值随试验结果而定的变量叫随机变量，常用 $X$X、$Y$Y 表示。取值能一个一个列出来的（有限个或可列个）叫离散型，比如一天内到柜台办理业务的人数；取值充满一个区间、用概率密度描述的叫连续型，比如某只股票一天的收益率、一台设备的使用寿命。

类型	描述工具	求概率的方法
离散型	分布律 $P\{X = x_k\} = p_k$P{X=xk​}=pk​	把对应取值的概率相加
连续型	概率密度 $f(x)$f(x)	在区间上对 $f(x)$f(x) 积分
两种都适用	分布函数 $F(x) = P\{X \le x\}$F(x)=P{X≤x}	$P\{a \lt X \le b\} = F(b) - F(a)$P{a<X≤b}=F(b)−F(a)

离散型分布律

两条性质

离散型随机变量的分布律要满足：每个 $p_k \ge 0$pk​≥0；所有 $p_k$pk​ 加起来等于 $1$1。题目里分布律含有未知常数时，就用「和为 1」来求。

例如 $P\{X = k\} = ck$P{X=k}=ck，$k = 1, 2, 3, 4$k=1,2,3,4：由 $c(1 + 2 + 3 + 4) = 1$c(1+2+3+4)=1 得 $c = \dfrac{1}{10}$c=101​。

由分布律求概率

求 $X$X 落在某个范围内的概率，就把这个范围里各个取值的概率相加。例如 $X$X 取 $0$0、$1$1、$2$2 的概率分别为 $0.2$0.2、$0.5$0.5、$0.3$0.3，则 $P\{X \ge 1\} = 0.5 + 0.3 = 0.8$P{X≥1}=0.5+0.3=0.8，$P\{X \lt 1\} = 0.2$P{X<1}=0.2。

分布函数

定义与性质

随机变量 $X$X 的分布函数是 $F(x) = P\{X \le x\}$F(x)=P{X≤x}，它对离散型、连续型都适用。一个函数能做分布函数，要同时满足四条：

性质	写法
取值在 0 到 1 之间	$0 \le F(x) \le 1$0≤F(x)≤1
单调不减	$x_1 \lt x_2$x1​<x2​ 时 $F(x_1) \le F(x_2)$F(x1​)≤F(x2​)
两端极限	$F(-\infty) = 0$F(−∞)=0，$F(+\infty) = 1$F(+∞)=1
右连续	$F(x + 0) = F(x)$F(x+0)=F(x)

用分布函数求概率：$P\{a \lt X \le b\} = F(b) - F(a)$P{a<X≤b}=F(b)−F(a)，$P\{X \gt a\} = 1 - F(a)$P{X>a}=1−F(a)。

离散型的分布函数是阶梯形

接上面的例子，$X$X 取 $0$0、$1$1、$2$2 的概率为 $0.2$0.2、$0.5$0.5、$0.3$0.3，它的分布函数是

$F(x) = \begin{cases}0, & x \lt 0 \\ 0.2, & 0 \le x \lt 1 \\ 0.7, & 1 \le x \lt 2 \\ 1, & x \ge 2\end{cases}$F(x)=⎩⎨⎧​0,0.2,0.7,1,​x<00≤x<11≤x<2x≥2​

每个取值处向上跳一次，跳的高度就是这个取值的概率：$P\{X = a\} = F(a) - F(a - 0)$P{X=a}=F(a)−F(a−0)，即该点的函数值减去左极限。

概率密度

定义与性质

如果存在非负函数 $f(x)$f(x)，使 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$F(x)=∫−∞x​f(t)dt，就说 $X$X 是连续型随机变量，$f(x)$f(x) 是它的概率密度。概率密度满足 $f(x) \ge 0$f(x)≥0 和 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$∫−∞+∞​f(x)dx=1；在 $f(x)$f(x) 连续的点，$F'(x) = f(x)$F′(x)=f(x)。

连续型随机变量取任何一个具体值的概率都是 $0$0，所以区间端点取不取都一样：$P\{a \lt X \lt b\} = P\{a \le X \le b\} = \int_a^b f(x)\,dx$P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=∫ab​f(x)dx。注意密度 $f(x)$f(x) 本身不是概率，它可以大于 $1$1。