导数的概念与求导法则

本节导读

导数是微积分的核心，常见资料转录的考试大纲把「一元函数微分学」列为微积分部分的第一项。试卷的数学小题会在很多地方用到导数：直接求某一点的导数，写切线方程，用导数的定义算一个极限，判断分段函数在分段点可不可导，后面的极值、边际、弹性也都从求导开始。

这一节先讲导数的定义和它的几种变形，再讲几何意义与经济意义，然后把基本求导公式、四则运算法则、复合函数求导、二阶导数和微分过一遍。学完以后，你应该能又快又准地求出常见函数的导数，这是后面每一节的基本功。

导数的定义

定义与常见变形

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$f′(x0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​

意思是：函数值的增量与自变量的增量之比，在增量趋于 $0$0 时的极限，也就是函数在这一点的瞬时变化率。例如 $f(x) = x^2$f(x)=x2：$\dfrac{(x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x \to 2x_0$Δx(x0​+Δx)2−x02​​=2x0​+Δx→2x0​，所以 $f'(x_0) = 2x_0$f′(x0​)=2x0​。

题目常把定义变个形，抓住一条：分子里两个函数值的自变量之差，要和分母一致。

极限	结果
$\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{h}$h→0lim​hf(x0​+ah)−f(x0​)​	$af'(x_0)$af′(x0​)
$\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h}$h→0lim​hf(x0​)−f(x0​−h)​	$f'(x_0)$f′(x0​)
$\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0 + ah) - f(x_0 + bh)}{h}$h→0lim​hf(x0​+ah)−f(x0​+bh)​	$(a - b)f'(x_0)$(a−b)f′(x0​)

可导与连续

可导一定连续，连续不一定可导。例如 $\lvert x \rvert$∣x∣ 在 $x = 0$x=0 处连续，但左导数是 $-1$−1、右导数是 $1$1，两者不相等，所以不可导。分段函数在分段点处，先看连续，再分别用定义算左导数和右导数，两者都存在且相等才可导。

导数的几何意义与经济意义

切线方程

$f'(x_0)$f′(x0​) 是曲线 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $(x_0, f(x_0))$(x0​,f(x0​)) 处切线的斜率，切线方程是

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)

例如 $y = x^3$y=x3 在 $x = 1$x=1 处：$y' = 3x^2$y′=3x2，斜率是 $3$3，切点是 $(1, 1)$(1,1)，切线是 $y - 1 = 3(x - 1)$y−1=3(x−1)，即 $y = 3x - 2$y=3x−2。法线与切线垂直，$f'(x_0) \neq 0$f′(x0​)=0 时法线的斜率是 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$−f′(x0​)1​。

变化率

在经济里，导数表示一个量随另一个量的变化率。比如总成本 $C(Q)$C(Q) 的导数 $C'(Q)$C′(Q) 表示产量为 $Q$Q 时再多生产一个单位，成本大约增加多少，叫边际成本，第 5 节专门讲。

基本求导公式

函数	导数
$C$C（常数）	$0$0
$x^a$xa	$ax^{a - 1}$axa−1
$a^x$ax	$a^x\ln a$axlna
$e^x$ex	$e^x$ex
$\log_a x$loga​x	$\dfrac{1}{x\ln a}$xlna1​
$\ln x$lnx	$\dfrac{1}{x}$x1​
$\sin x$sinx	$\cos x$cosx
$\cos x$cosx	$-\sin x$−sinx
$\tan x$tanx	$\sec^2 x$sec2x
$\arcsin x$arcsinx	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$1−x2​1​
$\arctan x$arctanx	$\dfrac{1}{1 + x^2}$1+x21​

幂函数的公式用得最多，根式和分式先化成幂再求导：$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$x​=x21​，$\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$x21​=x−2，所以 $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$(x​)′=2x​1​，$\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = -\dfrac{2}{x^3}$(x21​)′=−x32​。

求导法则

四则运算

设 $u$u、$v$v 都可导：

$(u \pm v)' = u' \pm v', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$(u±v)′=u′±v′,(uv)′=u′v+uv′,(vu​)′=v2u′v−uv′​

例如 $(x^2\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$(x2sinx)′=2xsinx+x2cosx；$\left(\dfrac{x}{1 + x}\right)' = \dfrac{(1 + x) - x}{(1 + x)^2} = \dfrac{1}{(1 + x)^2}$(1+xx​)′=(1+x)2(1+x)−x​=(1+x)21​。常数因子可以直接提出来：$(Cu)' = Cu'$(Cu)′=Cu′。

复合函数：由外向内，逐层相乘

若 $y = f(u)$y=f(u)、$u = g(x)$u=g(x)，则 $\dfrac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$dxdy​=f′(u)⋅g′(x)。做法是从最外层开始，每剥一层就乘上这一层的导数，直到剥到 $x$x 为止。例如 $y = e^{x^2 + 1}$y=ex2+1：外层 $e^u$eu 求导还是 $e^u$eu，再乘内层 $(x^2 + 1)' = 2x$(x2+1)′=2x，得 $y' = 2xe^{x^2 + 1}$y′=2xex2+1；又如 $y = \ln\cos x$y=lncosx，$y' = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$y′=cosx1​⋅(−sinx)=−tanx。

高阶导数与微分

二阶导数

导数的导数叫二阶导数，记作 $f''(x)$f′′(x) 或 $y''$y′′。例如 $y = \ln(1 + x)$y=ln(1+x)：$y' = \dfrac{1}{1 + x}$y′=1+x1​，$y'' = -\dfrac{1}{(1 + x)^2}$y′′=−(1+x)21​。二阶导数在第 4 节判断极值和凹凸时要用。几个常见的 $n$n 阶导数：$(e^{ax})^{(n)} = a^ne^{ax}$(eax)(n)=aneax，$(x^n)^{(n)} = n!$(xn)(n)=n!，次数低于 $n$n 的多项式的 $n$n 阶导数是 $0$0。

微分

函数的微分是 $dy = f'(x)\,dx$dy=f′(x)dx，也就是导数乘自变量的增量。当 $\lvert \Delta x \rvert$∣Δx∣ 很小时 $\Delta y \approx dy$Δy≈dy，可以用来做近似计算。例如 $y = \sqrt{x}$y=x​ 在 $x = 100$x=100 处、$\Delta x = 1$Δx=1：$dy = \dfrac{1}{2\sqrt{100}} \times 1 = 0.05$dy=2100​1​×1=0.05，所以 $\sqrt{101} \approx 10.05$101​≈10.05。对一元函数来说，可导与可微是一回事。

易错提醒

• ❌ $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$(vu​)′=v′u′​，$(uv)' = u'v'$(uv)′=u′v′
  ✅ 积的导数是 $u'v + uv'$u′v+uv′，商的导数是 $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$v2u′v−uv′​，分子的顺序不能颠倒。

• ❌ $(e^{-x})' = e^{-x}$(e−x)′=e−x
  ✅ 复合函数要乘内层导数，$(e^{-x})' = -e^{-x}$(e−x)′=−e−x。

• ❌ $(a^x)' = xa^{x - 1}$(ax)′=xax−1
  ✅ 那是幂函数的公式；指数函数是 $(a^x)' = a^x\ln a$(ax)′=axlna。

• ❌ 分段函数只要两段的导数在分段点处相等，就说可导
  ✅ 先要确认在分段点处连续，不连续一定不可导。比如左段 $x^2$x2、右段 $2x$2x 在 $x = 1$x=1 处导数都是 $2$2，但函数值从 $1$1 跳到 $2$2，不连续，也就不可导。

• ❌ 切线方程直接写成 $y = f'(x_0)x$y=f′(x0​)x
  ✅ 切线还要过切点：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)。

例题精讲

例题 1

设 $f'(1) = 2$f′(1)=2，求 $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h}$h→0lim​hf(1+2h)−f(1−h)​。

解：用表里的第三种变形，$a = 2$a=2、$b = -1$b=−1，原式 $= (2 - (-1))f'(1) = 3 \times 2 = 6$=(2−(−1))f′(1)=3×2=6。也可以拆开看：$\dfrac{f(1 + 2h) - f(1)}{h} + \dfrac{f(1) - f(1 - h)}{h} \to 2f'(1) + f'(1)$hf(1+2h)−f(1)​+hf(1)−f(1−h)​→2f′(1)+f′(1)。

答案：$6$6

例题 2

求 $y = (x^2 + 1)e^{2x}$y=(x2+1)e2x 的导数。

解：用积的法则，其中 $(e^{2x})' = 2e^{2x}$(e2x)′=2e2x：$y' = 2xe^{2x} + (x^2 + 1) \cdot 2e^{2x} = 2(x^2 + x + 1)e^{2x}$y′=2xe2x+(x2+1)⋅2e2x=2(x2+x+1)e2x。

答案：$y' = 2(x^2 + x + 1)e^{2x}$y′=2(x2+x+1)e2x

例题 3

求曲线 $y = \ln(2x - 1)$y=ln(2x−1) 在 $x = 1$x=1 处的切线方程。

解：切点是 $(1, \ln 1)$(1,ln1)，即 $(1, 0)$(1,0)。$y' = \dfrac{2}{2x - 1}$y′=2x−12​，$x = 1$x=1 时斜率为 $2$2。切线是 $y - 0 = 2(x - 1)$y−0=2(x−1)，即 $y = 2x - 2$y=2x−2。

答案：$y = 2x - 2$y=2x−2

本节小结

• 导数是增量比的极限；定义型极限看「分子自变量之差」与分母的关系，$\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0 + ah) - f(x_0 + bh)}{h} = (a - b)f'(x_0)$h→0lim​hf(x0​+ah)−f(x0​+bh)​=(a−b)f′(x0​)。
• 可导必连续，连续不一定可导；分段点先看连续，再比较左、右导数。
• 切线方程 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)；导数在经济里表示变化率。
• 积的导数 $u'v + uv'$u′v+uv′，商的导数 $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$v2u′v−uv′​，复合函数由外向内逐层相乘。
• 二阶导数是导数的导数；微分 $dy = f'(x)\,dx$dy=f′(x)dx，$\Delta y \approx dy$Δy≈dy 可做近似计算。