多元函数的极值与最值

本节导读

上一节学会了求偏导数，这一节用它求二元函数的极值。经济里的最优化问题大多有两个或更多决策变量：两种产品各生产多少利润最大，两个市场各定什么价，资本和劳动怎样搭配成本最低。没有附加条件的叫无条件极值，有预算、产量这类约束的叫条件极值。

这部分属于多元函数微分学，试卷的数学小题可能要你找驻点、判断驻点是不是极值点、求条件极值，或者直接给一个经济背景求最优产量和价格。学完以后，你应该能按固定步骤求出二元函数的极值，并会用拉格朗日乘数法处理带约束的问题。

二元函数的极值

必要条件：驻点

如果 $f(x, y)$f(x,y) 在点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 附近的函数值都不超过 $f(x_0, y_0)$f(x0​,y0​)，就说它在这一点取极大值；都不小于，就是极小值。和一元函数一样，极值是局部概念。

偏导数存在的函数，极值点处两个偏导数都等于零：

$f_x(x_0, y_0) = 0, \qquad f_y(x_0, y_0) = 0$fx​(x0​,y0​)=0,fy​(x0​,y0​)=0

满足这两个式子的点叫驻点。驻点不一定是极值点，还要用下面的充分条件判断。

充分条件：看判别式

在驻点处记 $A = f_{xx}$A=fxx​，$B = f_{xy}$B=fxy​，$C = f_{yy}$C=fyy​，然后看 $AC - B^2$AC−B2 的符号：

$AC - B^2$AC−B2	结论
大于 $0$0，且 $A \lt 0$A<0	极大值
大于 $0$0，且 $A \gt 0$A>0	极小值
小于 $0$0	不是极值点
等于 $0$0	不能判定，要另想办法

口诀：「判别式正有极值，$A$A 负极大 $A$A 正极小；判别式负没有极值。」

求极值的步骤

例如 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$f(x,y)=x2+xy+y2−3x−6y：第一步解方程组 $f_x = 2x + y - 3 = 0$fx​=2x+y−3=0、$f_y = x + 2y - 6 = 0$fy​=x+2y−6=0，得驻点 $(0, 3)$(0,3)；第二步求二阶偏导数，$A = 2$A=2，$B = 1$B=1，$C = 2$C=2；第三步判断，$AC - B^2 = 3 \gt 0$AC−B2=3>0 且 $A \gt 0$A>0，所以是极小值，$f(0, 3) = 9 - 18 = -9$f(0,3)=9−18=−9。

实际问题里，如果驻点只有一个，而问题本身一定有最大（小）值，那么这个驻点就是最值点，不必再算判别式。

条件极值

代入法

约束条件简单时，可以从约束里解出一个变量，代进目标函数，化成一元函数的极值。例如在 $x + y = 10$x+y=10、$x, y \gt 0$x,y>0 的条件下求 $xy$xy 的最大值：$y = 10 - x$y=10−x，$xy = 10x - x^2$xy=10x−x2，求导得 $x = 5$x=5，最大值是 $25$25。

拉格朗日乘数法

约束不好解出时，用拉格朗日乘数法。求 $f(x, y)$f(x,y) 在条件 $\varphi(x, y) = 0$φ(x,y)=0 下的极值：

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\varphi(x, y)$L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

令 $L_x = 0$Lx​=0、$L_y = 0$Ly​=0、$L_\lambda = \varphi(x, y) = 0$Lλ​=φ(x,y)=0，解出的 $(x, y)$(x,y) 就是可能的极值点。实际问题里，解出唯一一组时，它就是所求的最值点。

例如资本价格为 4、劳动价格为 1、总预算 400，生产函数 $Q = 10K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}}$Q=10K21​L21​，怎样投入产量最大？这里劳动已经用了字母 $L$L，拉格朗日函数改记作 $F = 10K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}} + \lambda(400 - 4K - L)$F=10K21​L21​+λ(400−4K−L)。由 $F_K = 0$FK​=0、$F_L = 0$FL​=0 消去 $\lambda$λ 得 $\dfrac{L}{K} = 4$KL​=4，代入预算 $4K + 4K = 400$4K+4K=400，得 $K = 50$K=50、$L = 200$L=200，最大产量 $10\sqrt{50 \times 200} = 1000$1050×200​=1000。

经济最优化问题

常见的三类

问题	目标函数	做法
两种产品定产量	利润 $L(x, y) = R(x, y) - C(x, y)$L(x,y)=R(x,y)−C(x,y)	无条件极值：$L_x = 0$Lx​=0，$L_y = 0$Ly​=0
两个市场定价格	总利润 $= R_1(Q_1) + R_2(Q_2) - C(Q_1 + Q_2)$=R1​(Q1​)+R2​(Q2​)−C(Q1​+Q2​)	每个市场的边际收益都等于边际成本
预算或产量约束	产量最大或成本最小	条件极值：代入法或拉格朗日乘数法

两个市场分别定价时，解出各市场的销量后，别忘了代回各自的需求函数求出价格。题目问什么就答什么：产量、价格、最大利润，往往要多算一步。

易错提醒

• ❌ 驻点就是极值点
  ✅ 驻点只是必要条件，要算 $AC - B^2$AC−B2 判断；判别式为负时不是极值点。

• ❌ $AC - B^2 \gt 0$AC−B2>0 且 $A \gt 0$A>0，判成极大值
  ✅ 正好反了：$A \lt 0$A<0 极大，$A \gt 0$A>0 极小，和一元函数「$f'' \lt 0$f′′<0 极大、$f'' \gt 0$f′′>0 极小」一致（此时 $A$A、$C$C 同号，看 $C$C 也一样，口诀统一记 $A$A）。

• ❌ $AC - B^2 = 0$AC−B2=0 就说没有极值
  ✅ 判别式为零时不能判定，可能有也可能没有。

• ❌ 条件极值直接对目标函数求偏导令其为零
  ✅ 那求的是无条件极值；有约束时要代入或构造拉格朗日函数。

• ❌ 分市场定价只求出销量就交卷
  ✅ 题目问价格时，要把销量代回各自的需求函数。

例题精讲

例题 1

求 $f(x, y) = x^3 - 3x + y^2 - 2y$f(x,y)=x3−3x+y2−2y 的极值。

解：$f_x = 3x^2 - 3 = 0$fx​=3x2−3=0 得 $x = \pm 1$x=±1，$f_y = 2y - 2 = 0$fy​=2y−2=0 得 $y = 1$y=1，驻点是 $(1, 1)$(1,1) 和 $(-1, 1)$(−1,1)。$A = 6x$A=6x，$B = 0$B=0，$C = 2$C=2。在 $(1, 1)$(1,1) 处 $AC - B^2 = 12 \gt 0$AC−B2=12>0、$A = 6 \gt 0$A=6>0，是极小值，$f(1, 1) = 1 - 3 + 1 - 2 = -3$f(1,1)=1−3+1−2=−3；在 $(-1, 1)$(−1,1) 处 $AC - B^2 = -12 \lt 0$AC−B2=−12<0，不是极值点。

答案：极小值 $-3$−3，没有极大值

例题 2

用拉格朗日乘数法求 $f(x, y) = x^2 + y^2$f(x,y)=x2+y2 在条件 $x + 2y = 10$x+2y=10 下的最小值。

解：令 $L = x^2 + y^2 + \lambda(x + 2y - 10)$L=x2+y2+λ(x+2y−10)，$L_x = 2x + \lambda = 0$Lx​=2x+λ=0，$L_y = 2y + 2\lambda = 0$Ly​=2y+2λ=0，消去 $\lambda$λ 得 $y = 2x$y=2x。代入约束 $x + 4x = 10$x+4x=10，得 $x = 2$x=2、$y = 4$y=4，最小值 $f(2, 4) = 4 + 16 = 20$f(2,4)=4+16=20。

答案：最小值 $20$20，在点 $(2, 4)$(2,4) 处取得

例题 3

某厂生产甲、乙两种产品，售价分别为 50 和 70，产量分别为 $x$x、$y$y 时的总成本 $C = x^2 + xy + y^2 + 10$C=x2+xy+y2+10。两种产品各生产多少时利润最大？最大利润是多少？

解：利润 $L = 50x + 70y - x^2 - xy - y^2 - 10$L=50x+70y−x2−xy−y2−10。令 $L_x = 50 - 2x - y = 0$Lx​=50−2x−y=0，$L_y = 70 - x - 2y = 0$Ly​=70−x−2y=0，解得 $x = 10$x=10、$y = 30$y=30。$A = -2$A=−2，$B = -1$B=−1，$C = -2$C=−2，$AC - B^2 = 3 \gt 0$AC−B2=3>0 且 $A \lt 0$A<0，是极大值，也是唯一驻点处的最大值：$L(10, 30) = 500 + 2100 - 1300 - 10 = 1290$L(10,30)=500+2100−1300−10=1290。

答案：甲 10、乙 30，最大利润 1290

本节小结

• 驻点：$f_x = 0$fx​=0，$f_y = 0$fy​=0；它只是极值的必要条件。
• 充分条件：$AC - B^2 \gt 0$AC−B2>0 有极值（$A \lt 0$A<0 极大，$A \gt 0$A>0 极小），小于 $0$0 没有极值，等于 $0$0 不能判定。
• 条件极值：约束简单用代入法，否则用拉格朗日函数 $L = f + \lambda\varphi$L=f+λφ，三个偏导数同时为零。
• 实际问题只有一个驻点时，它就是最值点。
• 经济最优化：两种产品定产量用无条件极值，分市场定价看各市场边际收益等于边际成本，预算约束用条件极值。