定积分的计算与应用

本节导读

定积分是一元函数积分学的第二部分。上一节的不定积分求的是原函数，这一节的定积分求的是一个数：曲线下的面积、一段区间上的累积量。牛顿-莱布尼茨公式把两者连了起来——求定积分，就是求出原函数再代上下限相减。

试卷的数学小题可能直接要一个定积分的值，也可能考对称区间上的奇偶性、变上限积分的导数、两条曲线围成的面积，或者已知边际成本求产量变化时总成本的增量。学完以后，你应该能熟练地算出常见的定积分，并会用它解决面积和经济累积量的问题。

定积分的概念与性质

几何意义

$f(x) \ge 0$f(x)≥0 时，$\int_a^b f(x)\,dx$∫ab​f(x)dx 是曲线 $y = f(x)$y=f(x)、直线 $x = a$x=a、$x = b$x=b 和 $x$x 轴围成的曲边梯形的面积；$f(x)$f(x) 有正有负时，它是 $x$x 轴上方的面积减去下方的面积。定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母无关。

常用性质

性质	写法
上下限相同	$\int_a^a f(x)\,dx = 0$∫aa​f(x)dx=0
交换上下限变号	$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$∫ab​f(x)dx=−∫ba​f(x)dx
区间可加	$\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$∫ab​fdx=∫ac​fdx+∫cb​fdx
线性	$\int_a^b [kf + lg]\,dx = k\int_a^b f\,dx + l\int_a^b g\,dx$∫ab​[kf+lg]dx=k∫ab​fdx+l∫ab​gdx
奇函数在对称区间	$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$∫−aa​f(x)dx=0
偶函数在对称区间	$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx

对称区间上先看奇偶性，能省下大量计算：奇函数的积分直接是 $0$0，偶函数只算一半再乘 $2$2。

牛顿-莱布尼茨公式

公式

若 $F(x)$F(x) 是连续函数 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上的一个原函数，则

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

常记作 $\left[F(x)\right]_a^b$[F(x)]ab​。例如 $\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1$∫1e​x1​dx=lne−ln1=1；$\int_0^1(3x^2 + 2x)\,dx = \left[x^3 + x^2\right]_0^1 = 2$∫01​(3x2+2x)dx=[x3+x2]01​=2。定积分的结果是一个数，不带积分常数。

积分区间无限的情形

概率论里会遇到积分区间是无穷的积分，算法是先在有限区间上积分，再取极限。例如 $\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx = \lim\limits_{b \to +\infty}\left(1 - e^{-b}\right) = 1$∫0+∞​e−xdx=b→+∞lim​(1−e−b)=1。第 11 至 13 节求概率、求期望时会用到这种写法。

定积分的换元与分部

换元要换限

用换元法算定积分时，换了变量就要同时换上下限，换完以后不必再换回原变量。例如 $\int_0^1 xe^{x^2}\,dx$∫01​xex2dx：令 $u = x^2$u=x2，$x$x 从 $0$0 到 $1$1 时 $u$u 从 $0$0 到 $1$1，原式 $= \dfrac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du = \dfrac{e - 1}{2}$=21​∫01​eudu=2e−1​。

根式代换也一样。例如 $\int_0^4\dfrac{dx}{1 + \sqrt{x}}$∫04​1+x​dx​：令 $t = \sqrt{x}$t=x​，$dx = 2t\,dt$dx=2tdt，$x$x 从 $0$0 到 $4$4 时 $t$t 从 $0$0 到 $2$2，

$\int_0^2\frac{2t}{1 + t}\,dt = \left[2t - 2\ln(1 + t)\right]_0^2 = 4 - 2\ln 3$∫02​1+t2t​dt=[2t−2ln(1+t)]02​=4−2ln3

分部积分

定积分的分部积分公式是 $\int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du$∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu，选 $u$u 的口诀仍是「反对幂三指」。例如 $\int_0^1 xe^x\,dx = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$∫01​xexdx=[xex]01​−∫01​exdx=e−(e−1)=1。

变上限积分求导

公式

上限是变量的积分 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$Φ(x)=∫ax​f(t)dt 是 $x$x 的函数，它的导数就是被积函数在上限处的值：

$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x), \qquad \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$dxd​∫ax​f(t)dt=f(x),dxd​∫ag(x)​f(t)dt=f(g(x))g′(x)

上限是 $g(x)$g(x) 时，要再乘上限的导数；上下限都是变量时，用「上限代入乘上限导数，减去下限代入乘下限导数」。例如 $\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt = e^{-x^4} \cdot 2x$dxd​∫0x2​e−t2dt=e−x4⋅2x。

与洛必达法则配合

$x \to 0$x→0 时，$\int_0^x f(t)\,dt$∫0x​f(t)dt 常常趋于 $0$0，和别的无穷小相除就是 $\dfrac{0}{0}$00​ 型，用洛必达法则时，分子的导数就用上面的公式求。

定积分的应用

平面图形的面积

两条曲线 $y = f(x)$y=f(x)、$y = g(x)$y=g(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上满足 $f(x) \ge g(x)$f(x)≥g(x)，它们围成的面积是

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$A=∫ab​[f(x)−g(x)]dx

步骤：先解方程求交点，定出积分区间；再判断谁在上面，用「上减下」积分。例如 $y = x^2$y=x2 与 $y = 2x$y=2x 交于 $x = 0$x=0、$x = 2$x=2，区间内 $2x \ge x^2$2x≥x2，面积 $A = \int_0^2(2x - x^2)\,dx = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$A=∫02​(2x−x2)dx=4−38​=34​。

由边际求总量

已知边际函数，定积分给出总量在一段区间上的变化：产量从 $a$a 增加到 $b$b 时，总成本的增量是 $\int_a^b C'(Q)\,dQ = C(b) - C(a)$∫ab​C′(Q)dQ=C(b)−C(a)，总收益、总利润同理。例如边际收益 $R'(Q) = 100 - 2Q$R′(Q)=100−2Q，销量从 10 增加到 20 时，总收益增加 $\int_{10}^{20}(100 - 2Q)\,dQ = \left[100Q - Q^2\right]_{10}^{20} = 1600 - 900 = 700$∫1020​(100−2Q)dQ=[100Q−Q2]1020​=1600−900=700。

易错提醒

• ❌ 换元后上下限不变
  ✅ 换了变量就要换限；换了限就不必再换回原变量。

• ❌ 定积分结果后面加 $+ C$+C
  ✅ 定积分是一个数，积分常数在相减时抵消了。

• ❌ $\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)$dxd​∫0x2​f(t)dt=f(x2)
  ✅ 上限是 $x^2$x2，还要乘它的导数 $2x$2x。

• ❌ 求面积时直接积分 $f(x)$f(x)，不看谁在上面
  ✅ 先求交点，再用「上减下」；曲线交错时要分段积分。

• ❌ 对称区间上不看奇偶性，硬算原函数
  ✅ 奇函数在对称区间上积分为 $0$0，先拆出奇函数部分再算。

例题精讲

例题 1

求 $\int_{-1}^{1}(x^3\cos x + x^2)\,dx$∫−11​(x3cosx+x2)dx。

解：$x^3\cos x$x3cosx 是奇函数，在对称区间上积分为 $0$0；$x^2$x2 是偶函数，所以原式 $= 2\int_0^1 x^2\,dx = 2 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$=2∫01​x2dx=2×31​=32​。

答案：$\dfrac{2}{3}$32​

例题 2

求 $\int_0^1 xe^{-x}\,dx$∫01​xe−xdx。

解：取 $u = x$u=x，$dv = e^{-x}\,dx$dv=e−xdx，$v = -e^{-x}$v=−e−x：

$\int_0^1 xe^{-x}\,dx = \left[-xe^{-x}\right]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,dx = -e^{-1} + \left(1 - e^{-1}\right) = 1 - \frac{2}{e}$∫01​xe−xdx=[−xe−x]01​+∫01​e−xdx=−e−1+(1−e−1)=1−e2​

答案：$1 - \dfrac{2}{e}$1−e2​

例题 3

求 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\int_0^x(e^t - 1)\,dt}{x^2}$x→0lim​x2∫0x​(et−1)dt​。

解：$\dfrac{0}{0}$00​ 型，用洛必达法则，分子求导得 $e^x - 1$ex−1：原式 $= \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^x - 1}{2x} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$=x→0lim​2xex−1​=x→0lim​2xx​=21​。

答案：$\dfrac{1}{2}$21​

本节小结

• 定积分是数，几何意义是有向面积；对称区间先看奇偶性。
• 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)。
• 换元要换限，分部积分 $\int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du$∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu。
• 变上限积分的导数：$\dfrac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x)$dxd​∫ag(x)​f(t)dt=f(g(x))g′(x)，常和洛必达法则配合。
• 面积用「上减下」积分；产量从 $a$a 到 $b$b 时总成本的增量是 $\int_a^b C'(Q)\,dQ$∫ab​C′(Q)dQ。