边际与弹性

本节导读

常见资料转录的考试大纲说，数学基础「主要考查考生对经济分析常用数学知识中的基本概念和基本方法的理解和应用」。导数在经济分析里最典型的用法就是边际和弹性：边际回答「再多一个单位，结果变多少」，弹性回答「变动百分之一，结果变动百分之几」。它们用的都是上一节的求导和求最值方法，只是每个式子都有经济含义。

试卷的数学小题可能直接问某个产量下的边际成本、某个价格下的需求价格弹性，也可能问提价后总收益怎么变、利润最大时产量是多少。学完以后，你应该能写出成本、收益、利润函数，算出边际与弹性，并说清它们的含义。

边际函数

边际的含义

函数 $y = f(x)$y=f(x) 的导数 $f'(x)$f′(x) 叫边际函数。$f'(x_0)$f′(x0​) 的经济含义是：在 $x = x_0$x=x0​ 处，$x$x 再增加一个单位，$y$y 大约改变 $f'(x_0)$f′(x0​) 个单位。

名称	记号	含义
边际成本	$C'(Q)$C′(Q)	多生产一个单位，成本约增加多少
边际收益	$R'(Q)$R′(Q)	多卖出一个单位，收益约增加多少
边际利润	$L'(Q) = R'(Q) - C'(Q)$L′(Q)=R′(Q)−C′(Q)	多产销一个单位，利润约增加多少

例如总成本 $C(Q) = 100 + 6Q + 0.02Q^2$C(Q)=100+6Q+0.02Q2（元），$C'(Q) = 6 + 0.04Q$C′(Q)=6+0.04Q，$C'(100) = 10$C′(100)=10：产量为 100 时，再生产一个单位，成本约增加 10 元。精确的增量是 $C(101) - C(100) = 10.02$C(101)−C(100)=10.02 元，与边际成本很接近。

平均成本与边际成本

平均成本是 $\bar{C}(Q) = \dfrac{C(Q)}{Q}$Cˉ(Q)=QC(Q)​，即每个单位分摊的成本。对 $\bar{C}(Q)$Cˉ(Q) 求导并令导数为 $0$0，可以得到一条结论：平均成本最低时，边际成本等于平均成本。

例如 $C(Q) = 0.1Q^2 + 5Q + 1000$C(Q)=0.1Q2+5Q+1000，$\bar{C}(Q) = 0.1Q + 5 + \dfrac{1000}{Q}$Cˉ(Q)=0.1Q+5+Q1000​，$\bar{C}'(Q) = 0.1 - \dfrac{1000}{Q^2} = 0$Cˉ′(Q)=0.1−Q21000​=0 得 $Q = 100$Q=100，最低平均成本 $\bar{C}(100) = 25$Cˉ(100)=25；此时边际成本 $C'(100) = 0.2 \times 100 + 5 = 25$C′(100)=0.2×100+5=25，正好相等。

弹性

定义：相对变化率之比

函数 $y = f(x)$y=f(x) 在 $x$x 处的弹性是

$E = \frac{x}{y}\cdot\frac{dy}{dx}$E=yx​⋅dxdy​

它是 $y$y 的相对变化与 $x$x 的相对变化之比，含义是：$x$x 变动 1%，$y$y 大约变动 $E$E%。弹性没有单位，不受计量单位的影响，所以不同商品之间可以直接比较。

需求价格弹性

需求函数 $Q = Q(P)$Q=Q(P) 的价格弹性是 $E_d = \dfrac{P}{Q}\cdot\dfrac{dQ}{dP}$Ed​=QP​⋅dPdQ​。需求一般随价格上升而减少，所以按这个式子算出的 $E_d$Ed​ 通常是负数。教材里有两种写法：一种就用这个式子，结果带负号；另一种在前面再加一个负号，把需求价格弹性写成正数。做题要看清题目用的是哪一种，本课一律用带符号的写法。

需求函数	价格弹性 $E_d$Ed​
$Q = a - bP$Q=a−bP	$-\dfrac{bP}{a - bP}$−a−bPbP​
$Q = aP^{-k}$Q=aP−k	$-k$−k（常数弹性）
$Q = ae^{-bP}$Q=ae−bP	$-bP$−bP

弹性的大小看绝对值：$\lvert E_d \rvert \gt 1$∣Ed​∣>1 叫富有弹性，需求对价格敏感；$\lvert E_d \rvert \lt 1$∣Ed​∣<1 叫缺乏弹性；$\lvert E_d \rvert = 1$∣Ed​∣=1 叫单位弹性。

弹性与总收益

总收益 $R = PQ$R=PQ，对价格求导：

$\frac{dR}{dP} = Q + P\frac{dQ}{dP} = Q(1 + E_d)$dPdR​=Q+PdPdQ​=Q(1+Ed​)

也可以写成相对变化：价格变动 1%，总收益约变动 $(1 + E_d)$(1+Ed​)%。由此得到下表：

弹性	价格上涨时	价格下降时
$\lvert E_d \rvert \gt 1$∣Ed​∣>1（富有弹性）	总收益减少	总收益增加
$\lvert E_d \rvert \lt 1$∣Ed​∣<1（缺乏弹性）	总收益增加	总收益减少
$\lvert E_d \rvert = 1$∣Ed​∣=1（单位弹性）	总收益约不变	总收益约不变

单位弹性的点正是 $\dfrac{dR}{dP} = 0$dPdR​=0 的点，总收益在这里取极值。这张表也解释了常说的「薄利多销」：只有对富有弹性的商品，降价才能多收。

经济中的最值问题

利润最大：边际收益等于边际成本

利润 $L(Q) = R(Q) - C(Q)$L(Q)=R(Q)−C(Q)，令 $L'(Q) = 0$L′(Q)=0 得 $R'(Q) = C'(Q)$R′(Q)=C′(Q)，即边际收益等于边际成本；再验证 $L''(Q) \lt 0$L′′(Q)<0。

例如价格与销量满足 $P = 50 - 0.5Q$P=50−0.5Q，总成本 $C(Q) = 200 + 10Q$C(Q)=200+10Q。总收益 $R(Q) = PQ = 50Q - 0.5Q^2$R(Q)=PQ=50Q−0.5Q2，$R'(Q) = 50 - Q$R′(Q)=50−Q，$C'(Q) = 10$C′(Q)=10，令两者相等得 $Q = 40$Q=40，此时价格 $P = 30$P=30，利润 $L(40) = 1200 - 600 = 600$L(40)=1200−600=600。$L''(Q) = -1 \lt 0$L′′(Q)=−1<0，确实是最大值。

解题四步

步骤	做什么
1	写出目标函数：利润、收益或平均成本，用同一个自变量表示
2	求导，令导数为 $0$0，求出驻点
3	用二阶导数或「唯一驻点」说明是最大（小）值
4	回答题目问的量：产量、价格还是最大利润

最后一步容易丢分：题目问价格时，要把产量代回需求函数求出价格。

易错提醒

• ❌ 边际成本就是多生产一个单位的精确成本
  ✅ 边际成本是导数，是近似值；精确值是 $C(Q + 1) - C(Q)$C(Q+1)−C(Q)。

• ❌ 弹性公式写成 $\dfrac{Q}{P}\cdot\dfrac{dQ}{dP}$PQ​⋅dPdQ​
  ✅ 是「自变量比函数值」再乘导数：$\dfrac{P}{Q}\cdot\dfrac{dQ}{dP}$QP​⋅dPdQ​。

• ❌ 价格上涨，总收益一定增加
  ✅ 要看弹性：富有弹性时涨价，总收益反而减少。

• ❌ 求利润最大时令总收益的导数为 $0$0
  ✅ 令 $R'(Q) = 0$R′(Q)=0 求的是收益最大；利润最大要令 $R'(Q) = C'(Q)$R′(Q)=C′(Q)。

• ❌ 给的是 $P$P 关于 $Q$Q 的式子，也直接对 $Q$Q 求导算价格弹性
  ✅ 先弄清谁是自变量；需求价格弹性要用 $\dfrac{dQ}{dP}$dPdQ​，必要时先把式子解成 $Q = Q(P)$Q=Q(P)。

例题精讲

例题 1

某产品的总成本 $C(Q) = 0.5Q^2 + 20Q + 800$C(Q)=0.5Q2+20Q+800（元）。求产量 $Q = 30$Q=30 时的边际成本和平均成本，并说明边际成本的含义。

解：$C'(Q) = Q + 20$C′(Q)=Q+20，$C'(30) = 50$C′(30)=50 元；平均成本 $\bar{C}(30) = \dfrac{450 + 600 + 800}{30} = \dfrac{1850}{30} \approx 61.67$Cˉ(30)=30450+600+800​=301850​≈61.67 元。边际成本 50 元的含义是：产量为 30 时，再多生产一个单位，总成本大约增加 50 元。

答案：边际成本 50 元，平均成本约 61.67 元

例题 2

某商品的需求函数为 $Q = 1200 - 20P$Q=1200−20P。求 $P = 20$P=20 时的需求价格弹性，并判断此时适当提价，总收益怎样变化。

解：$\dfrac{dQ}{dP} = -20$dPdQ​=−20，$P = 20$P=20 时 $Q = 800$Q=800，$E_d = \dfrac{20}{800} \times (-20) = -0.5$Ed​=80020​×(−20)=−0.5。$\lvert E_d \rvert = 0.5 \lt 1$∣Ed​∣=0.5<1，需求缺乏弹性：价格上涨 1%，需求量约减少 0.5%，总收益约增加 0.5%，所以适当提价能使总收益增加。

答案：$E_d = -0.5$Ed​=−0.5，提价使总收益增加

例题 3

某商品的价格与销量满足 $P = 80 - 2Q$P=80−2Q，总成本 $C(Q) = Q^2 + 20Q + 100$C(Q)=Q2+20Q+100。求利润最大时的产量、价格和最大利润。

解：$R(Q) = 80Q - 2Q^2$R(Q)=80Q−2Q2，$R'(Q) = 80 - 4Q$R′(Q)=80−4Q，$C'(Q) = 2Q + 20$C′(Q)=2Q+20。令 $R'(Q) = C'(Q)$R′(Q)=C′(Q) 得 $Q = 10$Q=10；$L''(Q) = -4 - 2 = -6 \lt 0$L′′(Q)=−4−2=−6<0，是最大值。此时 $P = 60$P=60，$L(10) = R(10) - C(10) = 600 - 400 = 200$L(10)=R(10)−C(10)=600−400=200。

答案：产量 10，价格 60，最大利润 200

本节小结

• 边际就是导数：$C'(Q)$C′(Q)、$R'(Q)$R′(Q)、$L'(Q) = R'(Q) - C'(Q)$L′(Q)=R′(Q)−C′(Q)，含义是「再多一个单位，约变化多少」。
• 平均成本最低时，边际成本等于平均成本。
• 弹性 $E = \dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{dy}{dx}$E=yx​⋅dxdy​，含义是 $x$x 变动 1%、$y$y 约变动 $E$E%；需求价格弹性通常为负，看绝对值判断是否富有弹性。
• $\dfrac{dR}{dP} = Q(1 + E_d)$dPdR​=Q(1+Ed​)：富有弹性时降价增收，缺乏弹性时提价增收。
• 利润最大：$R'(Q) = C'(Q)$R′(Q)=C′(Q) 且 $L''(Q) \lt 0$L′′(Q)<0；收益最大才是 $R'(Q) = 0$R′(Q)=0。