线性方程组

本节导读

常见资料转录的考试大纲把「线性方程组」列为线性代数部分的第一项。前面学的行列式、矩阵的秩、向量的线性相关，到这里都派上了用场：方程组有没有解看秩，解有多少个看秩与未知数个数的差，解长什么样看基础解系。

试卷的数学小题可能考：给出秩的条件判断解的情况，求基础解系里有几个向量，写出通解，或者讨论参数取什么值时方程组无解、有唯一解、有无穷多解。学完以后，你应该能用一次初等行变换回答这些问题。

方程组的矩阵形式与解的判定

矩阵形式

$m$m 个方程、$n$n 个未知数的线性方程组可以写成 $Ax = b$Ax=b，$A$A 是 $m \times n$m×n 的系数矩阵；把常数项 $b$b 作为最后一列拼上去，得到增广矩阵 $(A, b)$(A,b)。$b = 0$b=0 时叫齐次方程组，$b \neq 0$b=0 时叫非齐次方程组；$Ax = 0$Ax=0 也叫 $Ax = b$Ax=b 的导出组。

判定定理

秩的情况	非齐次 $Ax = b$Ax=b	齐次 $Ax = 0$Ax=0
$r(A) \lt r(A, b)$r(A)<r(A,b)	无解	不会出现
$r(A) = r(A, b) = n$r(A)=r(A,b)=n	唯一解	只有零解
$r(A) = r(A, b) \lt n$r(A)=r(A,b)<n	无穷多解，通解含 $n - r$n−r 个任意常数	有非零解

注意比较的是未知数的个数 $n$n，不是方程的个数 $m$m。$A$A 是方阵时，$\lvert A \rvert \neq 0$∣A∣=0 就有唯一解（齐次只有零解），$\lvert A \rvert = 0$∣A∣=0 时再用秩细分。

齐次线性方程组

总有零解

齐次方程组 $Ax = 0$Ax=0 一定有零解。它有非零解的充要条件是 $r(A) \lt n$r(A)<n；方程个数少于未知数个数时，一定有非零解。

基础解系

$r(A) = r \lt n$r(A)=r<n 时，$Ax = 0$Ax=0 的解组成的向量组的极大无关组叫基础解系，它含 $n - r$n−r 个向量；通解是 $x = k_1\xi_1 + \cdots + k_{n - r}\xi_{n - r}$x=k1​ξ1​+⋯+kn−r​ξn−r​。

求法：把 $A$A 化成行最简形，每个非零行首元对应的未知数留在左边，其余的叫自由未知量；让自由未知量依次取 $(1, 0, \cdots)$(1,0,⋯)、$(0, 1, \cdots)$(0,1,⋯)……，算出另外的未知数，就得到基础解系。

例如 $\begin{cases}x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 + 3x_3 + x_4 = 0\end{cases}${x1​+2x2​+x3​+x4​=02x1​+4x2​+3x3​+x4​=0​：系数矩阵化成 $\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$(10​20​01​2−1​)，秩为 2，自由未知量是 $x_2$x2​、$x_4$x4​，得 $x_1 = -2x_2 - 2x_4$x1​=−2x2​−2x4​，$x_3 = x_4$x3​=x4​。分别取 $(x_2, x_4) = (1, 0)$(x2​,x4​)=(1,0)、$(0, 1)$(0,1)，基础解系是 $\xi_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$ξ1​=(−2,1,0,0)T，$\xi_2 = (-2, 0, 1, 1)^T$ξ2​=(−2,0,1,1)T。

非齐次方程组的通解

结构

非齐次方程组的通解 = 它的一个特解 + 导出组的通解：

$x = \eta^* + k_1\xi_1 + \cdots + k_{n - r}\xi_{n - r}$x=η∗+k1​ξ1​+⋯+kn−r​ξn−r​

两条性质：$Ax = b$Ax=b 的两个解之差是导出组 $Ax = 0$Ax=0 的解；$Ax = b$Ax=b 的一个解加上 $Ax = 0$Ax=0 的一个解，仍是 $Ax = b$Ax=b 的解。

例子

$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 = 2\end{cases}${x1​+x2​+x3​=3x1​−x2​+2x3​=2​：增广矩阵化简后得 $x_2 = \dfrac{x_3 + 1}{2}$x2​=2x3​+1​，$x_1 = \dfrac{5 - 3x_3}{2}$x1​=25−3x3​​。取 $x_3 = 1$x3​=1 得特解 $\eta^* = (1, 1, 1)^T$η∗=(1,1,1)T；导出组取 $x_3 = 2$x3​=2 得 $\xi = (-3, 1, 2)^T$ξ=(−3,1,2)T。通解是 $x = (1, 1, 1)^T + k(-3, 1, 2)^T$x=(1,1,1)T+k(−3,1,2)T，$k$k 为任意常数。