在职研究生经济类综合能力考前辅导第五章数学：概率论第 10 节 / 共 32 节约 30 分钟免费

随机事件与概率（预备知识）

大纲没有单列，但分布和期望都从这里起步：事件的关系与运算、古典概型、加法公式、条件概率与乘法公式、独立性，以及全概率公式和贝叶斯公式。

本节考点：事件的关系与运算古典概型概率的加法公式条件概率与乘法公式事件的独立性全概率公式

本节导读

常见资料转录的考试大纲里，概率论部分列的是「分布和分布函数的概念、常见分布、期望和方差」，没有单列随机事件与概率。但二项分布要用独立重复试验，分布函数本身就是一个事件的概率，所以本节作为预备知识先讲，不当作大纲考点。

这一节讲事件的关系与运算、古典概型、加法公式、条件概率与乘法公式、独立性，最后讲全概率公式和贝叶斯公式。经济和金融里的风险问题（违约、故障、投资涨跌）大多可以写成这些公式。学完以后，你应该能把文字描述翻译成事件的运算，并选对公式算出概率。

事件的关系与运算

用符号写事件

随机试验所有可能结果组成的集合叫样本空间，记作 $\Omega$ ；样本空间的子集叫随机事件。事件之间的关系和运算如下：

名称	记号	含义
和（并）	$A \cup B$	$A$ 、 $B$ 至少有一个发生
积（交）	$AB$	$A$ 、 $B$ 同时发生
差	$A - B$	$A$ 发生而 $B$ 不发生，即 $A\overline{B}$
互斥（互不相容）	$AB = \varnothing$	$A$ 、 $B$ 不能同时发生
对立	$\overline{A}$	$A$ 不发生； $A \cup \overline{A} = \Omega$ ， $A\overline{A} = \varnothing$

对立一定互斥，互斥不一定对立。德摩根律常用来翻译「都不」和「不都」： $\overline{A \cup B} = \overline{A}\,\overline{B}$ （两个都不发生）， $\overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}$ （不都发生，即至少一个不发生）。

例如射击两次， $A$ 表示第一次命中， $B$ 表示第二次命中：「至少命中一次」是 $A \cup B$ ，「两次都没中」是 $\overline{A}\,\overline{B}$ ，它正好是「至少命中一次」的对立事件。

古典概型

样本空间只有有限个结果、每个结果出现的可能性相同，这种模型叫古典概型：

$P(A) = \frac{A \text{ 包含的结果数}}{\text{全部结果数}}$

数结果时常用组合数 $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ 。例如 10 件产品里有 3 件次品，任取 2 件都是正品的概率是 $\dfrac{C_7^2}{C_{10}^2} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15}$ 。分子分母必须用同一种数法：分母按「不计顺序的组合」数，分子也要按组合数。

概率的加法公式

公式

情形	公式
一般情形	$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
$A$ 、 $B$ 互斥	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
对立事件	$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
差事件	$P(A - B) = P(A) - P(AB)$

例如 $P(A) = 0.5$ ， $P(B) = 0.4$ ， $P(AB) = 0.2$ ，则 $P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$ 。「至少……」「都不……」的概率，往往先算对立事件更快。

条件概率与乘法公式

条件概率

在 $A$ 已经发生的条件下 $B$ 发生的概率是

$P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}, \qquad P(A) \gt 0$

例如 $P(A) = 0.6$ ， $P(AB) = 0.3$ ，则 $P(B \mid A) = 0.5$ 。条件概率相当于把样本空间缩小到 $A$ 里再看 $B$ 占多少。

乘法公式

把条件概率的式子变形，得到乘法公式 $P(AB) = P(A)P(B \mid A)$ 。题目里出现「其中」「在……之中」时，说的往往是条件概率，要和「同时发生」的概率区分开。

事件的独立性

定义与性质

若 $P(AB) = P(A)P(B)$ ，就说 $A$ 与 $B$ 相互独立，意思是一个事件发生与否不影响另一个的概率。 $A$ 、 $B$ 独立时， $A$ 与 $\overline{B}$ 、 $\overline{A}$ 与 $B$ 、 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也都独立。

独立和互斥是两回事：互斥说的是「不能同时发生」，独立说的是「互不影响」。两个概率都大于 $0$ 的事件，如果互斥，就一定不独立。

至少一个发生

$n$ 个相互独立的事件至少一个发生的概率，用对立事件算： $1 - P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})\cdots P(\overline{A_n})$ 。例如两台机器独立运转，出故障的概率分别是 0.1 和 0.2，至少一台出故障的概率是 $1 - 0.9 \times 0.8 = 0.28$ 。

全概率公式与贝叶斯公式

由原因求结果

若 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 互斥且合起来是整个样本空间（叫一个完备事件组），则

$P(B) = \sum_{i = 1}^{n} P(A_i)P(B \mid A_i)$

例如某厂三个车间的产量占 50%、30%、20%，次品率分别为 1%、2%、3%，任取一件是次品的概率是 $0.5 \times 0.01 + 0.3 \times 0.02 + 0.2 \times 0.03 = 0.017$ 。

由结果找原因

已知结果 $B$ 发生，问它来自 $A_i$ 的概率，用贝叶斯公式 $P(A_i \mid B) = \dfrac{P(A_i)P(B \mid A_i)}{P(B)}$ 。接上例，已知取到次品，它来自第三车间的概率是 $\dfrac{0.006}{0.017} = \dfrac{6}{17}$ 。

易错提醒

❌ 互斥就是独立
✅ 互斥是不能同时发生，独立是互不影响；两个概率为正的事件互斥时一定不独立。
❌ $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ 对任何事件都成立
✅ 只有互斥时才这样；一般要减去 $P(AB)$ 。
❌ 把「合格品中一等品占 60%」当成任取一件是一等品的概率
✅ 那是条件概率；任取一件是一等品的概率要用乘法公式。
❌ 「至少一个发生」把各概率直接相加
✅ 用 $1$ 减去「都不发生」的概率。
❌ 古典概型分子按排列数、分母按组合数
✅ 分子分母要用同一种数法。

例题精讲

例题 1

从 1 到 9 这九个数字中任取两个，两数之和为偶数的概率是多少？

解：和为偶数，要么两个都是奇数，要么两个都是偶数。九个数里有 5 个奇数、4 个偶数： $P = \dfrac{C_5^2 + C_4^2}{C_9^2} = \dfrac{10 + 6}{36} = \dfrac{4}{9}$ 。

答案： $\dfrac{4}{9}$

例题 2

甲、乙两人独立破译一份密码，能破译的概率分别是 0.6 和 0.5。这份密码被破译的概率是多少？

解：只要有一人破译出来，密码就被破译了，用对立事件：两人都没破译出来的概率是 $0.4 \times 0.5 = 0.2$ ，所以被破译的概率是 $1 - 0.2 = 0.8$ 。

答案： $0.8$

例题 3

某银行的贷款客户中，优质客户占 70%，一般客户占 30%；优质客户的违约率为 2%，一般客户为 10%。任取一笔贷款违约的概率是多少？已知某笔贷款违约，它来自一般客户的概率是多少？

解：全概率公式： $P(\text{违约}) = 0.7 \times 0.02 + 0.3 \times 0.1 = 0.014 + 0.03 = 0.044$ 。贝叶斯公式： $P(\text{一般} \mid \text{违约}) = \dfrac{0.03}{0.044} = \dfrac{15}{22}$ 。

答案： $0.044$ ； $\dfrac{15}{22}$

本节小结

事件的和、积、差、互斥、对立要会互相翻译；德摩根律： $\overline{A \cup B} = \overline{A}\,\overline{B}$ 。
古典概型 $P(A) = \dfrac{\text{有利结果数}}{\text{全部结果数}}$ ，分子分母同一种数法。
加法公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ ；对立事件 $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ 。
条件概率 $P(B \mid A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$ ，乘法公式 $P(AB) = P(A)P(B \mid A)$ ；独立时 $P(AB) = P(A)P(B)$ 。
全概率公式由原因求结果，贝叶斯公式由结果找原因。

学完练一练

按本节考点从本课的课后练习里抽题（每次 10 道以内），做完看解析、错题自动进错题本。

本节内容由 AI 辅助编写，配图由 AI 生成，仅供备考参考；考试要求以《全国各类成人高等学校招生考试大纲（2024 年版）》及浙江省教育考试院当年公布为准。