常见分布

本节导读

常见资料转录的考试大纲把「常见分布」列为概率论的第二项。所谓常见分布，就是一些反复出现的随机现象背后的固定模型：重复做同一件事成功几次（二项分布），一段时间里来了多少人（泊松分布），等车等了多久（均匀分布），元件能用多久（指数分布），身高、重量、测量误差（正态分布）。

试卷的数学小题可能给出一个情境让你识别分布、写出概率，也可能直接问正态分布标准化以后的概率。学完以后，你应该能记住五种分布的公式，并会用它们求概率。

离散型：二项分布与泊松分布

二项分布

在相同条件下独立重复做 $n$n 次试验，每次只有「成功」「失败」两种结果，成功的概率都是 $p$p，成功次数 $X$X 服从二项分布，记作 $X \sim B(n, p)$X∼B(n,p)：

$P\{X = k\} = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \cdots, n$P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n

$n = 1$n=1 时就是 0-1 分布。例如某产品的次品率为 0.1，任取 5 件（看作独立重复），恰好 1 件次品的概率是 $C_5^1 \times 0.1 \times 0.9^4 = 0.32805$C51​×0.1×0.94=0.32805。

泊松分布

单位时间（或单位面积）内某事件发生的次数，比如一小时内到达的顾客数、一天内接到的理赔申请数，常用泊松分布描述，记作 $X \sim P(\lambda)$X∼P(λ)：

$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots$P{X=k}=k!λk​e−λ,k=0,1,2,⋯

参数 $\lambda$λ 是平均发生次数。例如某保险网点平均每天接到 2 起理赔申请，一天里一起都没有的概率是 $e^{-2}$e−2。另外，$n$n 很大、$p$p 很小时，二项分布可以用 $\lambda = np$λ=np 的泊松分布近似计算。

连续型：均匀分布与指数分布

均匀分布

$X$X 在区间 $(a, b)$(a,b) 上取值，并且落在任何等长子区间里的可能性相同，就服从均匀分布，记作 $X \sim U(a, b)$X∼U(a,b)：密度在 $(a, b)$(a,b) 内为 $\dfrac{1}{b - a}$b−a1​，其他为 $0$0。求概率只要算长度之比。例如某路公交车每 10 分钟一班，乘客随机到站，等车时间 $X \sim U(0, 10)$X∼U(0,10)，等车超过 7 分钟的概率是 $\dfrac{10 - 7}{10} = 0.3$1010−7​=0.3。

指数分布

元件、设备的使用寿命，等待某件事发生的时间，常用指数分布描述，记作 $X \sim E(\lambda)$X∼E(λ)（$\lambda \gt 0$λ>0）：

项目	公式
概率密度	$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$f(x)=λe−λx（$x \gt 0$x>0），其他为 $0$0
分布函数	$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$F(x)=1−e−λx（$x \ge 0$x≥0）
超过时间 $t$t 的概率	$P\{X \gt t\} = e^{-\lambda t}$P{X>t}=e−λt
无记忆性	$P\{X \gt s + t \mid X \gt s\} = P\{X \gt t\}$P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}

无记忆性的意思是：已经用了 $s$s 小时还没坏，再用 $t$t 小时的概率，和新的一样。也有教材用参数 $\theta = \dfrac{1}{\lambda}$θ=λ1​ 写成 $f(x) = \dfrac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}$f(x)=θ1​e−θx​，做题先看清题目给的是哪种写法。

正态分布

密度与图形

正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$X∼N(μ,σ2) 的概率密度是

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​

图形是以 $x = \mu$x=μ 为对称轴的钟形曲线：$\mu$μ 决定位置，$\sigma$σ 决定胖瘦，$\sigma$σ 越小越集中。$\mu = 0$μ=0、$\sigma = 1$σ=1 时叫标准正态分布，它的分布函数记作 $\Phi(x)$Φ(x)，有 $\Phi(0) = 0.5$Φ(0)=0.5，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$Φ(−x)=1−Φ(x)。

标准化

一般正态分布求概率，先化成标准正态：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$X∼N(μ,σ2)，则 $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$σX−μ​∼N(0,1)，

$P\{a \lt X \le b\} = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$P{a<X≤b}=Φ(σb−μ​)−Φ(σa−μ​)