偏导数与全微分

本节导读

常见资料转录的 2025 年版考试大纲在微积分部分列了「多元函数微分学」，并称这是 2025 年版新增的内容；这一说法官方原文未见，以当年大纲为准。常见资料还提到，这部分包括多元函数的可微性、复合函数的链式求导、隐函数求导和全微分等内容。

经济问题里的量常常同时依赖好几个因素：产量取决于资本和劳动，需求取决于本商品的价格和收入。多元函数微分学就是研究「一个因素变、其他因素不变时，结果怎么变」。这一节讲二元函数、偏导数、全微分、复合函数和隐函数的求导，下一节用它们求多元函数的极值。学完以后，你应该能熟练求出偏导数和全微分。

二元函数的概念

定义与定义域

变量 $z$z 随 $x$x、$y$y 两个变量确定，记作 $z = f(x, y)$z=f(x,y)，这就是二元函数。它的定义域是平面上的一个区域，求法与一元函数相同：分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数为正，几条同时满足。例如 $z = \ln(x + y)$z=ln(x+y) 的定义域是直线 $x + y = 0$x+y=0 右上方的半平面 $\{(x, y) \mid x + y \gt 0\}${(x,y)∣x+y>0}。

经济里的例子

函数	含义
$Q = f(K, L)$Q=f(K,L)	产量取决于资本 $K$K 和劳动 $L$L（生产函数）
$Q = AK^{\alpha}L^{\beta}$Q=AKαLβ	常见的柯布-道格拉斯生产函数
$Q = f(P, M)$Q=f(P,M)	需求量取决于价格 $P$P 和收入 $M$M

偏导数

定义与求法

把 $y$y 固定、只让 $x$x 变，函数对 $x$x 的变化率叫对 $x$x 的偏导数，记作 $f_x(x, y)$fx​(x,y) 或 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​：

$f_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$fx​(x0​,y0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

求法很简单：对 $x$x 求偏导时把 $y$y 当常数，用一元函数的求导公式；对 $y$y 求偏导时把 $x$x 当常数。例如 $f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y$f(x,y)=x3+2xy2−y：$f_x = 3x^2 + 2y^2$fx​=3x2+2y2，$f_y = 4xy - 1$fy​=4xy−1，在点 $(1, 2)$(1,2) 处 $f_x = 11$fx​=11，$f_y = 7$fy​=7。

经济含义：边际产量

生产函数 $Q = f(K, L)$Q=f(K,L) 的偏导数 $\dfrac{\partial Q}{\partial L}$∂L∂Q​ 叫劳动的边际产量：资本不变时，再增加一个单位劳动，产量约增加多少。例如 $Q = 4K^{0.5}L^{0.5}$Q=4K0.5L0.5，$\dfrac{\partial Q}{\partial L} = 2K^{0.5}L^{-0.5}$∂L∂Q​=2K0.5L−0.5，在 $K = 16$K=16、$L = 4$L=4 时为 $2 \times 4 \div 2 = 4$2×4÷2=4。

二阶偏导数

偏导数再求偏导，得到四个二阶偏导数：$f_{xx}$fxx​、$f_{xy}$fxy​、$f_{yx}$fyx​、$f_{yy}$fyy​。其中 $f_{xy}$fxy​ 表示先对 $x$x、再对 $y$y 求偏导。两个混合偏导数连续时，它们相等，与求导的先后次序无关。例如 $z = xe^y + y^2$z=xey+y2：$z_x = e^y$zx​=ey，$z_{xy} = e^y$zxy​=ey；$z_y = xe^y + 2y$zy​=xey+2y，$z_{yx} = e^y$zyx​=ey，两者相同。

全微分

公式

函数 $z = f(x, y)$z=f(x,y) 的全增量可以近似为两个方向变化的叠加，它的全微分是

$dz = f_x\,dx + f_y\,dy$dz=fx​dx+fy​dy

例如 $z = x^2 + xy$z=x2+xy：$dz = (2x + y)\,dx + x\,dy$dz=(2x+y)dx+xdy。全微分有一个好用的性质：无论 $u$u、$v$v 是自变量还是中间变量，$z = f(u, v)$z=f(u,v) 的全微分都可以写成 $dz = f_u\,du + f_v\,dv$dz=fu​du+fv​dv，叫全微分形式不变性。

偏导数、连续、可微的关系

关系	结论
可微 ⇒ 偏导数存在	成立
可微 ⇒ 连续	成立
偏导数连续 ⇒ 可微	成立
偏导数存在 ⇒ 可微	不一定
偏导数存在 ⇒ 连续	不一定

这一点和一元函数不同：一元函数可导就一定连续，二元函数两个偏导数都存在，也可能不连续，因为偏导数只考察了沿坐标轴两个方向的变化。

多元复合函数求导

链式法则：沿每条路径相乘，再相加

设 $z = f(u, v)$z=f(u,v)，$u = u(x, y)$u=u(x,y)，$v = v(x, y)$v=v(x,y)，则

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$∂x∂z​=∂u∂z​⋅∂x∂u​+∂v∂z​⋅∂x∂v​

画一张「树形图」：$z$z 连到 $u$u、$v$v，$u$u、$v$v 再连到 $x$x、$y$y。求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​ 时，从 $z$z 走到 $x$x 有几条路就有几项，每条路上各段导数相乘。例如 $z = ue^v$z=uev，$u = x + y$u=x+y，$v = xy$v=xy：$\dfrac{\partial z}{\partial x} = e^v \cdot 1 + ue^v \cdot y = e^{xy}\left[1 + (x + y)y\right]$∂x∂z​=ev⋅1+uev⋅y=exy[1+(x+y)y]。

只有一个自变量：全导数

若 $z = f(x, y)$z=f(x,y)，$x = x(t)$x=x(t)，$y = y(t)$y=y(t)，则 $\dfrac{dz}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$dtdz​=fx​x′(t)+fy​y′(t)。例如 $z = x^2 + y^2$z=x2+y2，$x = \cos t$x=cost，$y = \sin t$y=sint：$\dfrac{dz}{dt} = 2\cos t \cdot (-\sin t) + 2\sin t\cos t = 0$dtdz​=2cost⋅(−sint)+2sintcost=0，这与 $z$z 恒等于 $1$1 相符。

隐函数求导

由方程确定的函数叫隐函数，用偏导数可以直接写出它的导数：

方程	导数公式
$F(x, y) = 0$F(x,y)=0 确定 $y = y(x)$y=y(x)	$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$dxdy​=−Fy​Fx​​
$F(x, y, z) = 0$F(x,y,z)=0 确定 $z = z(x, y)$z=z(x,y)	$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z}$∂x∂z​=−Fz​Fx​​，$\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z}$∂y∂z​=−Fz​Fy​​

用法是：先把方程写成「$F = 0$F=0」的形式，再把 $x$x、$y$y、$z$z 都当作独立变量求 $F$F 的偏导数，最后套公式，别漏了负号。例如 $x^2 + xy + y^2 = 7$x2+xy+y2=7：$F_x = 2x + y$Fx​=2x+y，$F_y = x + 2y$Fy​=x+2y，$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$dxdy​=−x+2y2x+y​。

易错提醒

• ❌ 对 $x$x 求偏导时，把 $y$y 也当变量求导
  ✅ 对谁求偏导，就只有谁是变量，其余都当常数。

• ❌ 偏导数都存在，函数就连续、可微
  ✅ 二元函数偏导数存在推不出连续，也推不出可微；偏导数连续才能推出可微。

• ❌ 链式法则只算一条路径
  ✅ 从 $z$z 到 $x$x 有几条路就有几项，逐条相乘后相加。

• ❌ 隐函数求导公式漏了负号，或把分子分母写反
  ✅ $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$dxdy​=−Fy​Fx​​，分子是对「求导对象之外那个变量」的偏导。

• ❌ 用隐函数公式时把 $y$y 当成 $x$x 的函数去求 $F_x$Fx​
  ✅ 公式里的 $F_x$Fx​、$F_y$Fy​ 是把各变量当独立变量求的偏导数。

例题精讲

例题 1

设 $z = x^2\sin y$z=x2siny，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$∂y∂z​ 和 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y}$∂x∂y∂2z​。

解：把 $y$y 当常数，$\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x\sin y$∂x∂z​=2xsiny；把 $x$x 当常数，$\dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2\cos y$∂y∂z​=x2cosy；再对 $y$y 求偏导，$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} = 2x\cos y$∂x∂y∂2z​=2xcosy。

答案：$2x\sin y$2xsiny，$x^2\cos y$x2cosy，$2x\cos y$2xcosy

例题 2

求 $z = \ln(x^2 + y^2)$z=ln(x2+y2) 在点 $(1, 1)$(1,1) 处的全微分。

解：$z_x = \dfrac{2x}{x^2 + y^2}$zx​=x2+y22x​，$z_y = \dfrac{2y}{x^2 + y^2}$zy​=x2+y22y​，在 $(1, 1)$(1,1) 处都等于 $1$1，所以 $dz = dx + dy$dz=dx+dy。

答案：$dz = dx + dy$dz=dx+dy

例题 3

方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 4z$x2+y2+z2=4z 确定了 $z = z(x, y)$z=z(x,y)，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​。

解：令 $F = x^2 + y^2 + z^2 - 4z$F=x2+y2+z2−4z，$F_x = 2x$Fx​=2x，$F_z = 2z - 4$Fz​=2z−4，所以

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x}{2z - 4} = \frac{x}{2 - z}$∂x∂z​=−Fz​Fx​​=−2z−42x​=2−zx​

答案：$\dfrac{x}{2 - z}$2−zx​（$z \neq 2$z=2）

本节小结

• 二元函数的定义域是平面区域；对谁求偏导，就把别的变量当常数。
• 偏导数的经济含义是「其他因素不变时的边际」，如劳动的边际产量 $\dfrac{\partial Q}{\partial L}$∂L∂Q​。
• 混合偏导数连续时与次序无关；全微分 $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$dz=fx​dx+fy​dy。
• 可微 ⇒ 偏导存在且连续；偏导数存在推不出连续和可微；偏导数连续 ⇒ 可微。
• 链式法则沿每条路径相乘再相加；隐函数 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$dxdy​=−Fy​Fx​​，$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z}$∂x∂z​=−Fz​Fx​​。