不定积分

本节导读

常见资料转录的考试大纲把「一元函数积分学」列为微积分的第二项。积分是求导的逆运算：已知导数，求原来的函数。它是下一节定积分的计算工具，也是概率论里由概率密度求分布函数、求期望的工具；在经济里，由边际成本求总成本、由边际收益求总收益，用的也是积分。

这一节先讲原函数与不定积分的概念和基本公式，再讲三种积分方法：凑微分、根式代换、分部积分。学完以后，你应该能判断一个积分该用哪种方法，并且养成「求完导回去验一遍」的习惯。

原函数与不定积分

概念

如果 $F'(x) = f(x)$F′(x)=f(x)，就说 $F(x)$F(x) 是 $f(x)$f(x) 的一个原函数。原函数不唯一，加上任意常数还是原函数，所以 $f(x)$f(x) 的全体原函数记作

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$∫f(x)dx=F(x)+C

这就是不定积分，$C$C 叫积分常数，不能漏写。例如 $(x^3)' = 3x^2$(x3)′=3x2，所以 $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$∫3x2dx=x3+C。

性质

性质	写法
先积后导，还原被积函数	$\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x)$(∫f(x)dx)′=f(x)
先导后积，多一个常数	$\int F'(x)\,dx = F(x) + C$∫F′(x)dx=F(x)+C
线性	$\int [af(x) + bg(x)]\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx

在经济里，已知边际成本 $C'(Q)$C′(Q)，积分就得到总成本，积分常数由固定成本 $C(0)$C(0) 确定。例如边际成本 $C'(Q) = 2Q + 5$C′(Q)=2Q+5、固定成本 100，则 $C(Q) = Q^2 + 5Q + C_0$C(Q)=Q2+5Q+C0​，由 $C(0) = 100$C(0)=100 得 $C(Q) = Q^2 + 5Q + 100$C(Q)=Q2+5Q+100。

基本积分公式

把求导公式倒过来读，就是积分公式：

被积函数	不定积分
$k$k（常数）	$kx + C$kx+C
$x^a$xa（$a \neq -1$a=−1）	$\dfrac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$a+1xa+1​+C
$\dfrac{1}{x}$x1​	$\ln\lvert x \rvert + C$ln∣x∣+C
$e^x$ex	$e^x + C$ex+C
$a^x$ax	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$lnaax​+C
$\sin x$sinx	$-\cos x + C$−cosx+C
$\cos x$cosx	$\sin x + C$sinx+C
$\sec^2 x$sec2x	$\tan x + C$tanx+C
$\dfrac{1}{1 + x^2}$1+x21​	$\arctan x + C$arctanx+C
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$1−x2​1​	$\arcsin x + C$arcsinx+C

根式、分式先化成幂再套公式。积完以后对结果求导，能还原成被积函数就说明算对了。

第一类换元法（凑微分）

思路

如果被积函数能写成 $f(g(x))g'(x)$f(g(x))g′(x)，就把 $g'(x)\,dx$g′(x)dx 凑成 $d\,g(x)$dg(x)，令 $u = g(x)$u=g(x)，积分变成 $\int f(u)\,du$∫f(u)du：

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du = F(u) + C = F(g(x)) + C$∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F(g(x))+C

常见的凑法

凑法	例子
$dx = \dfrac{1}{a}\,d(ax + b)$dx=a1​d(ax+b)	$\int\dfrac{dx}{3x + 2} = \dfrac{1}{3}\ln\lvert 3x + 2 \rvert + C$∫3x+2dx​=31​ln∣3x+2∣+C
$x\,dx = \dfrac{1}{2}\,d(x^2)$xdx=21​d(x2)	$\int xe^{x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$∫xex2dx=21​ex2+C
$\dfrac{1}{x}\,dx = d(\ln x)$x1​dx=d(lnx)	$\int\dfrac{\ln x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2 + C$∫xlnx​dx=21​(lnx)2+C
$e^x\,dx = d(e^x)$exdx=d(ex)	$\int\dfrac{e^x}{1 + e^x}\,dx = \ln(1 + e^x) + C$∫1+exex​dx=ln(1+ex)+C
$\cos x\,dx = d(\sin x)$cosxdx=d(sinx)	$\int\sin^2 x\cos x\,dx = \dfrac{1}{3}\sin^3 x + C$∫sin2xcosxdx=31​sin3x+C

凑微分时系数要补齐：凑出 $d(ax + b)$d(ax+b) 要在前面乘 $\dfrac{1}{a}$a1​，凑出 $d(x^2)$d(x2) 要乘 $\dfrac{1}{2}$21​。

第二类换元法（根式代换）

被积函数里有 $\sqrt{x}$x​、$\sqrt{ax + b}$ax+b​ 这类根式、凑不出微分时，可以令根式为 $t$t，把 $x$x 和 $dx$dx 都换成 $t$t 的式子，积完再换回来。

例如 $\int\dfrac{dx}{1 + \sqrt{x}}$∫1+x​dx​：令 $t = \sqrt{x}$t=x​，$x = t^2$x=t2，$dx = 2t\,dt$dx=2tdt，

$\int\frac{2t}{1 + t}\,dt = 2\int\left(1 - \frac{1}{1 + t}\right)dt = 2t - 2\ln(1 + t) + C$∫1+t2t​dt=2∫(1−1+t1​)dt=2t−2ln(1+t)+C

换回 $x$x，得 $2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C$2x​−2ln(1+x​)+C。被积函数里有 $\sqrt{a^2 - x^2}$a2−x2​ 时还可以用三角代换（令 $x = a\sin t$x=asint），属于同一思路，了解即可。

分部积分法

公式与选 u 的口诀

由积的求导法则倒推得到分部积分公式：

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$∫udv=uv−∫vdu

关键是选谁做 $u$u。口诀「反对幂三指」：被积函数是两类函数相乘时，按反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序，排在前面的做 $u$u，剩下的和 $dx$dx 凑成 $dv$dv。

三种典型

类型	选法	结果
幂乘指数	$u = x$u=x，$dv = e^x\,dx$dv=exdx	$\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + C$∫xexdx=(x−1)ex+C
幂乘三角	$u = x$u=x，$dv = \cos x\,dx$dv=cosxdx	$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$∫xcosxdx=xsinx+cosx+C
单独的对数	$u = \ln x$u=lnx，$dv = dx$dv=dx	$\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$∫lnxdx=xlnx−x+C

以第一行为例：$u = x$u=x，$v = e^x$v=ex，$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C$∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C。

易错提醒

• ❌ 不定积分的结果漏写 $+ C$+C
  ✅ 不定积分是全体原函数，结果必须带积分常数。

• ❌ $\int\dfrac{1}{x}\,dx = \dfrac{x^0}{0} + C$∫x1​dx=0x0​+C
  ✅ 幂函数公式要求 $a \neq -1$a=−1，$\dfrac{1}{x}$x1​ 的积分是 $\ln\lvert x \rvert + C$ln∣x∣+C。

• ❌ $\int e^{-x}\,dx = e^{-x} + C$∫e−xdx=e−x+C
  ✅ 凑微分要补系数：$\int e^{-x}\,dx = -\int e^{-x}\,d(-x) = -e^{-x} + C$∫e−xdx=−∫e−xd(−x)=−e−x+C。

• ❌ $\int xe^x\,dx$∫xexdx 选 $u = e^x$u=ex
  ✅ 按「反对幂三指」，幂函数排在指数函数前面，选 $u = x$u=x；选反了积分会越来越复杂。

• ❌ 根式代换后忘了换 $dx$dx
  ✅ $x = t^2$x=t2 时 $dx = 2t\,dt$dx=2tdt，漏了 $2t$2t 结果就错了。

例题精讲

例题 1

求 $\int\dfrac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx$∫x​(x+1)2​dx。

解：先展开、化成幂：$\dfrac{x^2 + 2x + 1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$x​x2+2x+1​=x23​+2x21​+x−21​，逐项用幂函数公式：

$\int\left(x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C$∫(x23​+2x21​+x−21​)dx=52​x25​+34​x23​+2x21​+C

答案：$\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2\sqrt{x} + C$52​x25​+34​x23​+2x​+C

例题 2

求 $\int x\sqrt{1 + x^2}\,dx$∫x1+x2​dx。

解：$x\,dx = \dfrac{1}{2}\,d(1 + x^2)$xdx=21​d(1+x2)，令 $u = 1 + x^2$u=1+x2：原式 $= \dfrac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{1}{3}(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C$=21​∫u21​du=21​⋅32​u23​+C=31​(1+x2)23​+C。

答案：$\dfrac{1}{3}(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C$31​(1+x2)23​+C

例题 3

求 $\int(2x + 1)\ln x\,dx$∫(2x+1)lnxdx。

解：按「反对幂三指」，对数排在幂函数前面，取 $u = \ln x$u=lnx，$dv = (2x + 1)\,dx$dv=(2x+1)dx，$v = x^2 + x$v=x2+x：

$\int(2x + 1)\ln x\,dx = (x^2 + x)\ln x - \int\frac{x^2 + x}{x}\,dx = (x^2 + x)\ln x - \frac{x^2}{2} - x + C$∫(2x+1)lnxdx=(x2+x)lnx−∫xx2+x​dx=(x2+x)lnx−2x2​−x+C

答案：$(x^2 + x)\ln x - \dfrac{x^2}{2} - x + C$(x2+x)lnx−2x2​−x+C

本节小结

• $F'(x) = f(x)$F′(x)=f(x) 时 $\int f(x)\,dx = F(x) + C$∫f(x)dx=F(x)+C，常数 $C$C 不能漏；求完导回去验算。
• 基本积分公式是求导公式倒过来；$\int\dfrac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x \rvert + C$∫x1​dx=ln∣x∣+C。
• 凑微分：把 $g'(x)\,dx$g′(x)dx 凑成 $d\,g(x)$dg(x)，系数要补齐。
• 根式代换：令根式为 $t$t，$x$x 与 $dx$dx 一起换，积完换回。
• 分部积分 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$∫udv=uv−∫vdu，按「反对幂三指」选 $u$u；由边际求总量时，常数由固定成本确定。