矩阵运算与逆矩阵

本节导读

常见资料转录的考试大纲把「行列式和矩阵的基本运算」放在一起列出。矩阵是把数排成的矩形数表，经济里的投入产出表、多种产品在多个地区的销量，都可以写成矩阵。上一节的行列式是方阵算出来的一个数，这一节讲矩阵本身怎么运算。

试卷的数学小题可能考矩阵乘法的计算和性质、方阵行列式的运算、逆矩阵的求法，以及矩阵的秩。秩又是下两节判断向量组相关性和方程组解的工具。学完以后，你应该能熟练做矩阵运算，避开「乘法交换」这类常见误区。

矩阵的线性运算

同型矩阵（行数、列数都相同）才能相加减，对应元素相加减；数 $k$k 乘矩阵，是每个元素都乘 $k$k。加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律，和普通数的运算一样。

例如 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$(12​03​)+2(10​1−1​)=(32​21​)。注意数乘矩阵是每个元素都乘，而数乘行列式只乘一行，这是两者最容易混的地方。

矩阵乘法

行乘列

$A$A 是 $m \times s$m×s 矩阵、$B$B 是 $s \times n$s×n 矩阵时，乘积 $AB$AB 是 $m \times n$m×n 矩阵，它的第 $i$i 行第 $j$j 列元素等于 $A$A 的第 $i$i 行与 $B$B 的第 $j$j 列对应元素乘积之和。前一个的列数必须等于后一个的行数，否则不能相乘。

和数的乘法不一样的三点

性质	说明
不满足交换律	一般 $AB \neq BA$AB=BA，甚至一个能乘、另一个不能乘
不满足消去律	$AB = AC$AB=AC 且 $A \neq O$A=O，推不出 $B = C$B=C
有零因子	$AB = O$AB=O 推不出 $A = O$A=O 或 $B = O$B=O

例如 $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$A=(10​21​)，$B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$B=(13​01​)，$AB = \begin{pmatrix}7 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$AB=(73​21​)，$BA = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 7\end{pmatrix}$BA=(13​27​)，两者不相等。又如 $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = O$(11​11​)(1−1​−11​)=O，两个矩阵都不是零矩阵。

由于不能交换，$(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$(A+B)2=A2+AB+BA+B2，只有 $AB = BA$AB=BA 时才等于 $A^2 + 2AB + B^2$A2+2AB+B2。单位矩阵 $E$E 的作用和数 1 一样：$AE = EA = A$AE=EA=A。

转置与方阵的行列式

运算	规则
转置的转置	$(A^T)^T = A$(AT)T=A
和的转置	$(A + B)^T = A^T + B^T$(A+B)T=AT+BT
积的转置	$(AB)^T = B^TA^T$(AB)T=BTAT，顺序要反过来
转置的行列式	$\lvert A^T \rvert = \lvert A \rvert$∣AT∣=∣A∣
积的行列式	$\lvert AB \rvert = \lvert A \rvert\lvert B \rvert$∣AB∣=∣A∣∣B∣（$A$A、$B$B 为同阶方阵）
数乘的行列式	$\lvert kA \rvert = k^n\lvert A \rvert$∣kA∣=kn∣A∣（$A$A 为 $n$n 阶方阵）

虽然 $AB \neq BA$AB=BA，但 $\lvert AB \rvert = \lvert BA \rvert$∣AB∣=∣BA∣，因为行列式是数，可以交换。

逆矩阵

定义与判定

对 $n$n 阶方阵 $A$A，若存在 $B$B 使 $AB = BA = E$AB=BA=E，就说 $A$A 可逆，$B = A^{-1}$B=A−1。$A$A 可逆的充要条件是 $\lvert A \rvert \neq 0$∣A∣=0。

公式法与伴随矩阵

$A^{-1} = \dfrac{1}{\lvert A \rvert}A^*$A−1=∣A∣1​A∗，其中伴随矩阵 $A^*$A∗ 由各元素的代数余子式组成，并且要转置：$A^*$A∗ 的第 $i$i 行第 $j$j 列放的是 $A_{ji}$Aji​。由 $AA^* = \lvert A \rvert E$AA∗=∣A∣E 还可以推出 $\lvert A^* \rvert = \lvert A \rvert^{n - 1}$∣A∗∣=∣A∣n−1。

二阶矩阵最常用：

$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$(ac​bd​)−1=ad−bc1​(d−c​−ba​)

口诀「主对角线换位置，副对角线变符号，再除以行列式」。例如 $\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 5 & 2\end{pmatrix}$(35​12​) 的行列式是 1，逆矩阵是 $\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -5 & 3\end{pmatrix}$(2−5​−13​)。

初等行变换法与性质

三阶以上用初等行变换更快：把 $(A \mid E)$(A∣E) 只做行变换，化成 $(E \mid A^{-1})$(E∣A−1)。例如 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}$​101​010​102​​ 的逆矩阵是 $\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$​20−1​010​−101​​，两者相乘等于 $E$E 可以验证。