期望与方差

本节导读

常见资料转录的考试大纲把「期望和方差」列为概率论的第三项。分布律、密度描述的是随机变量的全部情况，期望和方差则把它压缩成两个数：期望是平均水平，方差是波动大小。在经济和金融里，期望对应预期收益，方差对应风险，这两个数是做投资决策最基本的依据。

试卷的数学小题可能直接给分布律或密度让你求期望、方差，也可能考 $D(aX + b)$D(aX+b) 这类性质，或者给出二项分布的期望和方差反求参数。学完以后，你应该能熟练计算期望与方差，并记住常见分布的结果。

数学期望

定义

类型	公式
离散型	$E(X) = \sum\limits_k x_k p_k$E(X)=k∑​xk​pk​
连续型	$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,dx$E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx

期望是以概率为权重的加权平均，不是各个取值的简单平均。例如一项投资有 0.6 的概率盈利 2 万元、0.4 的概率亏损 1 万元，预期收益是 $2 \times 0.6 + (-1) \times 0.4 = 0.8$2×0.6+(−1)×0.4=0.8 万元。亏损要记成负数。

随机变量函数的期望

求 $Y = g(X)$Y=g(X) 的期望，不必先求 $Y$Y 的分布，直接用 $X$X 的分布：离散型 $E[g(X)] = \sum\limits_k g(x_k)p_k$E[g(X)]=k∑​g(xk​)pk​，连续型 $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\,dx$E[g(X)]=∫−∞+∞​g(x)f(x)dx。最常用的是 $g(x) = x^2$g(x)=x2，因为算方差要用 $E(X^2)$E(X2)。

例如 $X$X 在 $(0, 2)$(0,2) 上均匀分布，$E(X^3) = \int_0^2 x^3 \cdot \dfrac{1}{2}\,dx = 2$E(X3)=∫02​x3⋅21​dx=2。

方差

定义与计算公式

方差衡量随机变量偏离期望的程度：

$D(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = E(X^2) - \left[E(X)\right]^2$D(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−[E(X)]2

做题几乎都用后一个式子：先算 $E(X)$E(X)，再算 $E(X^2)$E(X2)，最后相减。方差的算术平方根 $\sqrt{D(X)}$D(X)​ 叫标准差，和 $X$X 的单位相同。方差一定不小于 $0$0，算出负数就说明算错了。

收益与风险

两项投资的预期收益相同时，方差小的收益更稳定、风险更小；方差相同时，预期收益高的更有吸引力。例如甲方案收益为 4 万元或 6 万元、各占一半，乙方案收益为 0 或 10 万元、各占一半，两者期望都是 5 万元，但甲的方差是 1，乙的方差是 25，乙的风险大得多。

期望与方差的性质

运算性质

性质	期望	方差
常数	$E(C) = C$E(C)=C	$D(C) = 0$D(C)=0
线性变换	$E(aX + b) = aE(X) + b$E(aX+b)=aE(X)+b	$D(aX + b) = a^2D(X)$D(aX+b)=a2D(X)
和	$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$E(X+Y)=E(X)+E(Y)	$X$X、$Y$Y 独立时 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$D(X±Y)=D(X)+D(Y)
积	$X$X、$Y$Y 独立时 $E(XY) = E(X)E(Y)$E(XY)=E(X)E(Y)	—

两点要特别注意：方差里的系数要平方，常数项不影响方差；$X$X、$Y$Y 独立时，不论是 $D(X + Y)$D(X+Y) 还是 $D(X - Y)$D(X−Y)，都等于 $D(X) + D(Y)$D(X)+D(Y)，方差只会相加。

一个例子

设 $E(X) = 2$E(X)=2，$D(X) = 3$D(X)=3，则 $E(4X - 1) = 7$E(4X−1)=7，$D(4X - 1) = 16 \times 3 = 48$D(4X−1)=16×3=48。

常见分布的期望与方差

分布	期望	方差
0-1 分布	$p$p	$p(1 - p)$p(1−p)
二项分布 $B(n, p)$B(n,p)	$np$np	$np(1 - p)$np(1−p)
泊松分布 $P(\lambda)$P(λ)	$\lambda$λ	$\lambda$λ
均匀分布 $U(a, b)$U(a,b)	$\dfrac{a + b}{2}$2a+b​	$\dfrac{(b - a)^2}{12}$12(b−a)2​
指数分布 $E(\lambda)$E(λ)	$\dfrac{1}{\lambda}$λ1​	$\dfrac{1}{\lambda^2}$λ21​
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$N(μ,σ2)	$\mu$μ	$\sigma^2$σ2