向量的线性相关与线性无关

本节导读

常见资料转录的考试大纲在线性代数部分列了「向量的线性相关和线性无关」。一组向量里，如果某个向量能由别的向量「凑」出来，这组向量就有多余的成员，叫线性相关；谁也凑不出谁，就叫线性无关。这个概念决定了向量组「真正的个数」（秩），也是下一节判断方程组解的结构的基础。

试卷的数学小题可能考：判断一组向量是否线性相关，求让向量组相关的参数，求向量组的秩，或者判断一个向量能否由另一组向量表示。学完以后，你应该能把这些问题都转化成「算行列式」或「求矩阵的秩」。

线性组合与线性表示

定义

给定向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$α1​,α2​,⋯,αs​，表达式 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s$k1​α1​+k2​α2​+⋯+ks​αs​ 叫它们的线性组合。如果向量 $\beta$β 能写成这样的组合，就说 $\beta$β 可以由这组向量线性表示。

例如 $\alpha_1 = (1, 0, 1)^T$α1​=(1,0,1)T，$\alpha_2 = (0, 1, 1)^T$α2​=(0,1,1)T，$\beta = (1, 2, 3)^T$β=(1,2,3)T：$\alpha_1 + 2\alpha_2 = (1, 2, 3)^T$α1​+2α2​=(1,2,3)T，所以 $\beta = \alpha_1 + 2\alpha_2$β=α1​+2α2​。

转化成方程组

$\beta$β 能否由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_s$α1​,⋯,αs​ 线性表示，就是方程组 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s = \beta$k1​α1​+⋯+ks​αs​=β 有没有解；用秩来说，就是 $r(\alpha_1, \cdots, \alpha_s) = r(\alpha_1, \cdots, \alpha_s, \beta)$r(α1​,⋯,αs​)=r(α1​,⋯,αs​,β)。解出的 $k_1, \cdots, k_s$k1​,⋯,ks​ 就是表示的系数。

线性相关与线性无关

定义

如果存在一组不全为零的数 $k_1, \cdots, k_s$k1​,⋯,ks​，使 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s = 0$k1​α1​+⋯+ks​αs​=0，就说向量组线性相关；只有 $k_1 = \cdots = k_s = 0$k1​=⋯=ks​=0 时才成立，就说线性无关。等价的说法是：线性相关当且仅当其中至少有一个向量能由其余向量线性表示。

常用判定

情形	线性相关的条件
一个向量	它是零向量
两个向量	对应分量成比例
$n$n 个 $n$n 维向量	以它们为列的行列式等于 $0$0
一般的 $s$s 个向量	以它们为列的矩阵的秩小于 $s$s
向量个数多于维数	一定线性相关
含有零向量	一定线性相关

例如 $(1, 2, -1)^T$(1,2,−1)T 与 $(-2, -4, 2)^T$(−2,−4,2)T 对应分量成比例，线性相关；$(1, 1, 0)^T$(1,1,0)T、$(0, 1, 1)^T$(0,1,1)T、$(1, 0, 1)^T$(1,0,1)T 组成的行列式等于 $2$2，不为零，线性无关；任意 4 个三维向量一定线性相关。

部分与整体

部分相关，整体一定相关；整体无关，部分一定无关。反过来都不成立。还有一条常用结论：若 $\alpha_1, \cdots, \alpha_s$α1​,⋯,αs​ 线性无关，而加上 $\beta$β 以后线性相关，则 $\beta$β 可以由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_s$α1​,⋯,αs​ 线性表示，并且表示法唯一。

由无关组构造的新向量组

已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$α1​,α2​,α3​ 线性无关，判断它们的组合（如 $\alpha_1 + \alpha_2$α1​+α2​、$\alpha_2 + \alpha_3$α2​+α3​ 等）是否相关，有两种办法：一是直接找不全为零的系数使组合等于零；二是把新向量组的系数排成矩阵，系数矩阵的行列式不为零，新向量组就线性无关。

向量组的秩与极大线性无关组

概念

从向量组里挑出一部分线性无关的向量，再添任何一个别的向量都会变成线性相关，这一部分就叫极大线性无关组。极大无关组里向量的个数叫向量组的秩。极大无关组一般不唯一，但它们所含向量的个数相同。

求法：列向量排成矩阵，做初等行变换

步骤	做什么
1	把各向量作为列，排成一个矩阵
2	只做初等行变换，化成阶梯形（最好化成行最简形）
3	非零行的个数就是秩，每个非零行首个非零元所在的列，对应的原向量组成一个极大无关组
4	由行最简形读出其余向量用极大无关组表示的系数