洛必达法则与函数的极值、最值

本节导读

上一节学会了求导，这一节讲导数的两大用途：一是用洛必达法则求 $\dfrac{0}{0}$00​、$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型的极限；二是用导数研究函数的形态——哪里升、哪里降，哪里取极值，区间上最大最小是多少，曲线往哪边弯。这些都属于一元函数微分学的内容，试卷的数学小题会直接问单调区间、极值、最值或拐点，也会在边际、弹性的经济题里用到同样的方法。

学完以后，你应该能判断什么时候可以用洛必达法则，并会用「列表法」求单调区间和极值，会在闭区间上求最值。

洛必达法则

条件与用法

当 $x \to x_0$x→x0​（或 $x \to \infty$x→∞）时，如果 $f(x)$f(x) 与 $g(x)$g(x) 同时趋于 $0$0 或同时趋于 $\infty$∞，两者在附近可导、$g'(x) \neq 0$g′(x)=0，并且 $\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$limg′(x)f′(x)​ 存在（或为 $\infty$∞），那么

$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$limg(x)f(x)​=limg′(x)f′(x)​

注意是分子、分母分别求导，不是对整个分式求导。求导后还是未定式，可以接着用。例如 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x - \ln(1 + x)}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1 - \frac{1}{1 + x}}{2x} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{2(1 + x)} = \dfrac{1}{2}$x→0lim​x2x−ln(1+x)​=x→0lim​2x1−1+x1​​=x→0lim​2(1+x)1​=21​。

其他未定式先化成分式

类型	化法	例子
$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​	直接用	$\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x} = 0$x→+∞lim​xlnx​=x→+∞lim​x1​=0
$0 \cdot \infty$0⋅∞	把一个因子移到分母	$\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to 0^+}(-x) = 0$x→0+lim​xlnx=x→0+lim​x1​lnx​=x→0+lim​(−x)=0
$\infty - \infty$∞−∞	通分化成一个分式	$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x} = \dfrac{\sin x - x}{x\sin x}$x1​−sinx1​=xsinxsinx−x​

两个经验结论可以直接用：$x \to +\infty$x→+∞ 时，对数函数比幂函数增长得慢，幂函数又比指数函数增长得慢，所以 $\dfrac{\ln x}{x^a} \to 0$xalnx​→0，$\dfrac{x^a}{e^x} \to 0$exxa​→0（$a \gt 0$a>0）。

用之前先检查

洛必达法则只管未定式，代入不是未定式就不能用。另外，$\lim\dfrac{f'}{g'}$limg′f′​ 不存在时，不能说原极限不存在。例如 $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x + \sin x}{x} = 1$x→∞lim​xx+sinx​=1，但分子分母求导后是 $1 + \cos x$1+cosx，没有极限，这时要回到原式，把它写成 $1 + \dfrac{\sin x}{x}$1+xsinx​ 来算。洛必达法则和等价无穷小替换可以配合使用，先替换再求导往往更快。

函数的单调性与极值

单调性：看导数的符号

在区间内 $f'(x) \gt 0$f′(x)>0，函数单调增加；$f'(x) \lt 0$f′(x)<0，函数单调减少。步骤是：写定义域，求 $f'(x)$f′(x)，找出驻点（$f'(x) = 0$f′(x)=0 的点）和导数不存在的点，用它们把定义域分段，逐段判断 $f'$f′ 的符号。

例如 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$f(x)=2x3−3x2−12x+1：$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)$f′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)。

$x$x	$(-\infty, -1)$(−∞,−1)	$-1$−1	$(-1, 2)$(−1,2)	$2$2	$(2, +\infty)$(2,+∞)
$f'(x)$f′(x)	$+$+	$0$0	$-$−	$0$0	$+$+
$f(x)$f(x)	增	极大值 $8$8	减	极小值 $-19$−19	增

极值的两个充分条件

极值是局部概念：$f(x_0)$f(x0​) 比附近的函数值都大（小），就是极大（小）值。可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点，比如 $x^3$x3 在 $x = 0$x=0 处导数为 $0$0，两侧却都在增加。导数不存在的点也可能是极值点。

方法	条件	结论
第一充分条件	$x_0$x0​ 左侧 $f' \gt 0$f′>0、右侧 $f' \lt 0$f′<0	极大值
第一充分条件	$x_0$x0​ 左侧 $f' \lt 0$f′<0、右侧 $f' \gt 0$f′>0	极小值
第一充分条件	两侧同号	不是极值
第二充分条件	$f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0，$f''(x_0) \lt 0$f′′(x0​)<0	极大值
第二充分条件	$f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0，$f''(x_0) \gt 0$f′′(x0​)>0	极小值

例如 $f(x) = x^2e^{-x}$f(x)=x2e−x：$f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}$f′(x)=(2x−x2)e−x，驻点 $x = 0$x=0、$x = 2$x=2；$f''(x) = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$f′′(x)=(x2−4x+2)e−x，$f''(0) = 2 \gt 0$f′′(0)=2>0，$f(0) = 0$f(0)=0 是极小值；$f''(2) = -2e^{-2} \lt 0$f′′(2)=−2e−2<0，$f(2) = 4e^{-2}$f(2)=4e−2 是极大值。$f''(x_0) = 0$f′′(x0​)=0 时第二充分条件失效，改用第一充分条件。

最大值与最小值

闭区间上的最值

闭区间 $[a, b]$[a,b] 上的连续函数一定有最大值和最小值。求法：找出区间内的驻点和不可导点，把这些点的函数值和两个端点的函数值放在一起比较，最大的是最大值，最小的是最小值。驻点在区间外的不参加比较。

例如 $f(x) = 2x^3 - 3x^2$f(x)=2x3−3x2 在 $[-1, 2]$[−1,2] 上：$f'(x) = 6x(x - 1)$f′(x)=6x(x−1)，驻点 $0$0、$1$1 都在区间内。$f(-1) = -5$f(−1)=−5，$f(0) = 0$f(0)=0，$f(1) = -1$f(1)=−1，$f(2) = 4$f(2)=4，最大值是 $4$4，最小值是 $-5$−5。

唯一驻点

如果函数在一个区间内只有一个极值点，那么它是极大值点时就是最大值点，是极小值点时就是最小值点。实际问题（用料最省、利润最大）常用这一条，不必再比较端点。

曲线的凹凸与拐点

在区间内 $f''(x) \gt 0$f′′(x)>0，曲线向上弯，通行的高等数学教材叫「凹」；$f''(x) \lt 0$f′′(x)<0，曲线向下弯，叫「凸」。有的教材叫法相反，做题以题目给的定义为准。凹凸性改变的点叫拐点，拐点是曲线上的点，要写成坐标 $(x_0, f(x_0))$(x0​,f(x0​))。

例如 $y = x^3 - 3x^2$y=x3−3x2：$y'' = 6x - 6$y′′=6x−6，$x \lt 1$x<1 时 $y'' \lt 0$y′′<0（凸），$x \gt 1$x>1 时 $y'' \gt 0$y′′>0（凹），拐点是 $(1, -2)$(1,−2)。注意 $f''(x_0) = 0$f′′(x0​)=0 只是必要条件，还要看两侧是否变号，比如 $x^4$x4 在 $x = 0$x=0 处 $f'' = 0$f′′=0，但两侧都是凹的，没有拐点。

易错提醒

• ❌ 对整个分式求导：$\left(\dfrac{f}{g}\right)'$(gf​)′
  ✅ 洛必达法则是分子、分母分别求导：$\dfrac{f'}{g'}$g′f′​。

• ❌ 不是未定式也用洛必达法则
  ✅ 先代入检查，只有 $\dfrac{0}{0}$00​、$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 才能直接用。

• ❌ $f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0，所以 $x_0$x0​ 一定是极值点
  ✅ 还要看 $f'$f′ 在两侧是否变号，或用二阶导数判断。

• ❌ 闭区间求最值只比较驻点
  ✅ 端点和不可导点都要一起比较；区间外的驻点不比较。

• ❌ 拐点写成 $x = 1$x=1
  ✅ 拐点是曲线上的点，要写坐标 $(1, f(1))$(1,f(1))；极值点才写横坐标。

例题精讲

例题 1

求 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$x→0lim​x3x−sinx​。

解：$\dfrac{0}{0}$00​ 型，用一次洛必达法则得 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1 - \cos x}{3x^2}$x→0lim​3x21−cosx​，再用等价无穷小 $1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$1−cosx∼21​x2，得 $\dfrac{\frac{1}{2}x^2}{3x^2} = \dfrac{1}{6}$3x221​x2​=61​。

答案：$\dfrac{1}{6}$61​

例题 2

求 $f(x) = (x^2 - 3)e^x$f(x)=(x2−3)ex 的极值。

解：$f'(x) = 2xe^x + (x^2 - 3)e^x = (x^2 + 2x - 3)e^x = (x + 3)(x - 1)e^x$f′(x)=2xex+(x2−3)ex=(x2+2x−3)ex=(x+3)(x−1)ex，驻点 $x = -3$x=−3、$x = 1$x=1。$e^x \gt 0$ex>0，符号由 $(x + 3)(x - 1)$(x+3)(x−1) 决定：$x \lt -3$x<−3 时为正，$-3 \lt x \lt 1$−3<x<1 时为负，$x \gt 1$x>1 时为正。所以 $f(-3) = 6e^{-3}$f(−3)=6e−3 是极大值，$f(1) = -2e$f(1)=−2e 是极小值。

答案：极大值 $6e^{-3}$6e−3，极小值 $-2e$−2e

例题 3

求 $f(x) = x^{\frac{2}{3}}(x - 5)$f(x)=x32​(x−5) 在 $[-1, 3]$[−1,3] 上的最大值和最小值。

解：$f(x) = x^{\frac{5}{3}} - 5x^{\frac{2}{3}}$f(x)=x35​−5x32​，$f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} - \dfrac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{5(x - 2)}{3\sqrt[3]{x}}$f′(x)=35​x32​−310​x−31​=33x​5(x−2)​。驻点是 $x = 2$x=2，$x = 0$x=0 处导数不存在，两个都在区间内。比较：$f(-1) = -6$f(−1)=−6，$f(0) = 0$f(0)=0，$f(2) = -3\sqrt[3]{4} \approx -4.76$f(2)=−334​≈−4.76，$f(3) = -2\sqrt[3]{9} \approx -4.16$f(3)=−239​≈−4.16。

答案：最大值 $0$0（在不可导点 $x = 0$x=0 处），最小值 $-6$−6（在端点 $x = -1$x=−1 处）

本节小结

• 洛必达法则：$\dfrac{0}{0}$00​、$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型分子分母分别求导；$0 \cdot \infty$0⋅∞、$\infty - \infty$∞−∞ 先化成分式；求导后极限不存在时回到原式另想办法。
• 单调性看 $f'$f′ 的符号；分界点是驻点和不可导点，列表判断。
• 极值：第一充分条件看 $f'$f′ 两侧变号，第二充分条件看 $f''(x_0)$f′′(x0​) 的符号，$f''(x_0) = 0$f′′(x0​)=0 时失效。
• 闭区间最值：比较区间内驻点、不可导点和端点的函数值；区间内唯一的极值点就是最值点。
• $f'' \gt 0$f′′>0 凹、$f'' \lt 0$f′′<0 凸，变号的点是拐点，写成坐标。