行列式

本节导读

常见资料转录的考试大纲在线性代数部分列了「行列式和矩阵的基本运算」。行列式是一个由方阵算出来的数，它决定了矩阵可不可逆、线性方程组有没有唯一解，是线性代数的第一个工具。

试卷的数学小题可能直接给一个行列式让你算，也可能考 $\lvert kA \rvert$∣kA∣ 这类性质、代数余子式的组合，或者问参数取什么值时齐次方程组有非零解。学完以后，你应该能用「化零、展开」两步算出三阶、四阶行列式，并熟练运用行列式的性质。

二阶与三阶行列式

二阶：主对角线减副对角线

$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$​ac​bd​​=ad−bc

例如 $\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 3 & 4\end{vmatrix} = 8 - 3 = 5$​23​14​​=8−3=5。

三阶：对角线法则

三阶行列式等于三条「主对角线方向」的乘积之和，减去三条「副对角线方向」的乘积之和：

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​=a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a11​a23​a32​−a12​a21​a33​

例如 $\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{vmatrix} = 1 + 0 + 0 - 0 - 2 - 6 = -7$​130​212​011​​=1+0+0−0−2−6=−7。对角线法则只适用于二阶和三阶，四阶以上要用性质和展开。

行列式的性质

六条性质

性质	说明
转置不变	行与列互换，值不变，所以对行成立的性质对列也成立
互换两行	值变号
某行乘 $k$k	值乘 $k$k；某行有公因子可以提出来
两行成比例	值为 $0$0（两行相同、某行全为零也是 $0$0）
某行加上另一行的倍数	值不变
某行是两组数之和	可以拆成两个行列式相加

两个推论

一是三角形行列式（主对角线以下或以上全是零）等于主对角线元素的乘积。二是 $n$n 阶方阵 $A$A 乘常数 $k$k 时，每一行都乘了 $k$k，所以 $\lvert kA \rvert = k^n\lvert A \rvert$∣kA∣=kn∣A∣。例如三阶方阵 $\lvert A \rvert = 3$∣A∣=3，则 $\lvert 2A \rvert = 2^3 \times 3 = 24$∣2A∣=23×3=24，不是 $6$6。

按行（列）展开

余子式与代数余子式

划去元素 $a_{ij}$aij​ 所在的第 $i$i 行、第 $j$j 列，剩下的行列式叫余子式 $M_{ij}$Mij​；代数余子式是 $A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$Aij​=(−1)i+jMij​。符号按位置交替：左上角为正，向右、向下依次一正一负。

行列式等于任意一行（列）的元素与各自代数余子式乘积之和：

$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}$D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+⋯+ain​Ain​

先化零，再展开

展开要挑零多的行或列；零不够，就先用「某行加上另一行的倍数」造出零，让某一行（列）只剩一个非零元素，再展开，行列式就降了一阶。

代数余子式的组合

某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于 $0$0。另外，求 $A_{21} + A_{22} + A_{23}$A21​+A22​+A23​ 这类组合时，可以把行列式的第 2 行换成系数 $1, 1, 1$1,1,1，新行列式的值就是所求——因为第 2 行的代数余子式与第 2 行本身的元素无关。

克拉默法则

公式

$n$n 个方程、$n$n 个未知数的线性方程组，系数行列式 $D \neq 0$D=0 时有唯一解：

$x_j = \frac{D_j}{D}, \quad j = 1, 2, \cdots, n$xj​=DDj​​,j=1,2,⋯,n