函数、极限与连续（预备知识）

本节导读

常见资料转录的考试大纲里，微积分部分从「一元函数微分学」写起，没有单列函数、极限与连续。但导数的定义本身就是一个极限，后面的洛必达法则、积分、概率里的分布函数也都要用到这些基础，所以本节作为预备知识先讲，不当作大纲考点。

试卷上的数学小题，常常在求导数、判断可导或求极值的过程中顺带用到极限的算法。这一节把函数的定义域与复合、极限的几种常用算法、两个重要极限、等价无穷小替换和连续性的判断讲一遍。学完以后，你应该能在一两分钟内算出常见类型的极限，并会用连续性求分段函数里的参数。

函数的概念与性质

定义域与复合函数

求定义域就是找让式子有意义的 $x$x，常见的限制有三条：

式子里有	要求
分式	分母不等于 $0$0
偶次根式	根号下大于或等于 $0$0
对数	真数大于 $0$0

例如 $f(x) = \sqrt{4 - x^2} + \dfrac{1}{\ln(x + 1)}$f(x)=4−x2​+ln(x+1)1​：要 $4 - x^2 \ge 0$4−x2≥0，即 $-2 \le x \le 2$−2≤x≤2；要 $x + 1 \gt 0$x+1>0，即 $x \gt -1$x>−1；还要 $\ln(x + 1) \neq 0$ln(x+1)=0，即 $x \neq 0$x=0。三条同时满足，定义域是 $(-1, 0) \cup (0, 2]$(−1,0)∪(0,2]。

复合函数是把一个函数代进另一个函数：若 $y = f(u)$y=f(u)、$u = g(x)$u=g(x)，则 $y = f(g(x))$y=f(g(x))，算的时候先算里层再算外层。注意顺序，$f(g(x))$f(g(x)) 和 $g(f(x))$g(f(x)) 一般不相等。

经济里常用的函数

函数	记号	说明
需求函数	$Q = Q(P)$Q=Q(P)	需求量随价格变化，一般价格越高需求越少
总成本函数	$C(Q)$C(Q)	固定成本加可变成本
总收益函数	$R(Q) = PQ$R(Q)=PQ	价格乘销量
利润函数	$L(Q) = R(Q) - C(Q)$L(Q)=R(Q)−C(Q)	收益减成本

这几个函数在后面讲边际与弹性、经济最值时会反复用到。

极限的计算

先代入，再看类型

求 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$x→x0​lim​f(x) 的第一步永远是把 $x_0$x0​ 代进去：初等函数在定义域内连续，代入得到一个确定的数，那就是极限。代入后出现 $\dfrac{0}{0}$00​、$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 这类未定式，才需要变形：

类型	常用方法	例子
$\dfrac{0}{0}$00​，分子分母是多项式	因式分解，约去零因子	$\lim\limits_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 9} = \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{x + 1}{x + 3} = \dfrac{2}{3}$x→3lim​x2−9x2−2x−3​=x→3lim​x+3x+1​=32​
$\dfrac{0}{0}$00​，含根式	分子或分母有理化	$\lim\limits_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \lim\limits_{x \to 4}\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{1}{4}$x→4lim​x−4x​−2​=x→4lim​x​+21​=41​
$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​，有理分式	分子分母同除以最高次幂	$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5} = \dfrac{3}{2}$x→∞lim​2x2+53x2−x+1​=23​
无穷小乘有界函数	结果是无穷小	$\lim\limits_{x \to 0} x\sin\dfrac{1}{x} = 0$x→0lim​xsinx1​=0

有理分式的「抓大头」

$x \to \infty$x→∞ 时，设分子的次数是 $m$m、分母的次数是 $n$n：$m = n$m=n 时极限是最高次项系数之比；$m \lt n$m<n 时极限是 $0$0；$m \gt n$m>n 时极限是 $\infty$∞。记法是「谁的次数高听谁的，一样高就比系数」。

两个重要极限

公式与凑形式

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$limx→0​xsinx​=1,limx→∞​(1+x1​)x=e

第二个也常写成 $\lim\limits_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$x→0lim​(1+x)x1​=e。用的时候要「凑形式」：第一个要求 $\sin$sin 后面的式子和分母一致并趋于 $0$0，比如 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{3x} = 3$x→0lim​xsin3x​=3x→0lim​3xsin3x​=3；第二个是「$1$1 加无穷小，指数是它的倒数」，比如 $\lim\limits_{x \to \infty}\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^{x} = \lim\limits_{x \to \infty}\left[\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^{2} = e^2$x→∞lim​(1+x2​)x=x→∞lim​[(1+x2​)2x​]2=e2。

连续复利

本金 $A_0$A0​、年利率 $r$r，一年计息 $n$n 次，$t$t 年后的本利和是 $A_0\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt}$A0​(1+nr​)nt。计息次数无限增多时，由第二个重要极限得 $A_0 e^{rt}$A0​ert，这就是连续复利。例如本金 10000 元、年利率 5%、连续复利 2 年，本利和是 $10000e^{0.1} \approx 11052$10000e0.1≈11052 元。

无穷小的比较

等价无穷小

极限为 $0$0 的量叫无穷小。两个无穷小之比的极限为 $1$1，就说它们等价，记作 $\sim$∼。$x \to 0$x→0 时常用的等价关系：

无穷小	等价于
$\sin x$sinx，$\tan x$tanx，$\arcsin x$arcsinx	$x$x
$\ln(1 + x)$ln(1+x)，$e^x - 1$ex−1	$x$x
$1 - \cos x$1−cosx	$\dfrac{1}{2}x^2$21​x2
$(1 + x)^a - 1$(1+x)a−1	$ax$ax

表里的 $x$x 可以换成任何趋于 $0$0 的式子，比如 $x \to 0$x→0 时 $e^{2x} - 1 \sim 2x$e2x−1∼2x、$\ln(1 + 3x) \sim 3x$ln(1+3x)∼3x，所以 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{2x} - 1}{\ln(1 + 3x)} = \dfrac{2}{3}$x→0lim​ln(1+3x)e2x−1​=32​。

只能替换乘除里的因子

等价替换只能用在乘积或商的因子上，不能用在加减里。比如 $\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$x3tanx−sinx​ 不能把分子换成 $x - x = 0$x−x=0，正确做法是先写成 $\dfrac{\tan x(1 - \cos x)}{x^3}$x3tanx(1−cosx)​，再替换得 $\dfrac{x \cdot \frac{1}{2}x^2}{x^3} = \dfrac{1}{2}$x3x⋅21​x2​=21​。

函数的连续性

定义与判断

函数 $f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 处连续，要同时满足三条：$f(x_0)$f(x0​) 有定义，$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$x→x0​lim​f(x) 存在，并且两者相等。分段函数在分段点处，要分别算左极限和右极限，两者相等且等于函数值才连续。

例如 $f(x) = \begin{cases}\dfrac{\sin 2x}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0\end{cases}$f(x)=⎩⎨⎧​xsin2x​,a,​x=0x=0​ 在 $x = 0$x=0 处连续，因为 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{x} = 2$x→0lim​xsin2x​=2，所以 $a = 2$a=2。

间断点的类型

类型	特征	例子
可去间断点	极限存在，但函数在该点没定义或函数值不等于极限	$\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$x−1x2−1​ 在 $x = 1$x=1 处
跳跃间断点	左右极限都存在但不相等	符号函数在 $x = 0$x=0 处
无穷间断点	极限是无穷大	$\dfrac{1}{x}$x1​ 在 $x = 0$x=0 处

易错提醒

• ❌ 代入后分母为 $0$0，就说极限不存在
  ✅ 分子也为 $0$0 时是 $\dfrac{0}{0}$00​ 未定式，要先约分或有理化再算。

• ❌ $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\sin x}{x} = 1$x→∞lim​xsinx​=1
  ✅ 重要极限要求 $x \to 0$x→0；$x \to \infty$x→∞ 时 $\sin x$sinx 有界、$\dfrac{1}{x} \to 0$x1​→0，极限是 $0$0。

• ❌ $\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}$(1+x1​)x 的底数趋于 $1$1，所以极限是 $1$1
  ✅ 这是 $1^\infty$1∞ 型未定式，极限是 $e$e。

• ❌ 在加减式里做等价替换
  ✅ 等价替换只用于乘除的因子，加减式要先化成乘积。

• ❌ 分段函数只算一侧的极限
  ✅ 分段点两侧的表达式不同，要分别算左、右极限。

例题精讲

例题 1

求 $\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$x→1lim​x2−1x3−1​。

解：代入得 $\dfrac{0}{0}$00​。因式分解 $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$x3−1=(x−1)(x2+x+1)，$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$x2−1=(x−1)(x+1)，约去 $x - 1$x−1：

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{3}{2}$limx→1​x+1x2+x+1​=23​

答案：$\dfrac{3}{2}$23​

例题 2

求 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1 - \cos 2x}{x\sin x}$x→0lim​xsinx1−cos2x​。

解：$x \to 0$x→0 时 $1 - \cos 2x \sim \dfrac{1}{2}(2x)^2 = 2x^2$1−cos2x∼21​(2x)2=2x2，$\sin x \sim x$sinx∼x，它们都是乘除里的因子，可以替换：原式 $= \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{2x^2}{x \cdot x} = 2$=x→0lim​x⋅x2x2​=2。

答案：$2$2

例题 3

求 $\lim\limits_{x \to \infty}\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)^{2x}$x→∞lim​(1−x3​)2x。

解：凑成第二个重要极限，「$1$1 加无穷小」里的无穷小是 $-\dfrac{3}{x}$−x3​，指数要凑成它的倒数 $-\dfrac{x}{3}$−3x​：

$\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{2x} = \left[\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{-\frac{x}{3}}\right]^{-6} \to e^{-6}$(1−x3​)2x=[(1−x3​)−3x​]−6→e−6

答案：$e^{-6}$e−6

本节小结

• 极限先代入；出现 $\dfrac{0}{0}$00​ 用因式分解或有理化，$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 的有理分式比较最高次项。
• 两个重要极限：$x \to 0$x→0 时 $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$xsinx​→1，$x \to \infty$x→∞ 时 $\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \to e$(1+x1​)x→e，用前先凑形式；连续复利是第二个的经济应用。
• 等价无穷小：$\sin x$sinx、$\tan x$tanx、$\ln(1 + x)$ln(1+x)、$e^x - 1$ex−1 都与 $x$x 等价，$1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$1−cosx∼21​x2；只替换乘除的因子。
• 连续：函数值等于极限；分段点处分别算左、右极限，用它求参数。
• 本节是预备知识，大纲没有单列，但后面求导、积分、概率都要用到。