时间序列分析

本节导读

这一节对应大纲应用统计学第 6 条「时间序列分析」。大纲的考试范围是：数据的分类，时间序列的组成因素，时间序列的乘法模型，时间序列的加法模型，长期趋势的确定，季节变动因素的测定与调整，循环变动因素与不规则因素的测定。

学完你应当能：分清截面数据、时间序列数据与平行数据；说出四个组成因素和两种模型；用移动平均法和最小二乘法求趋势；用按月（季）平均法、移动平均剔除法算季节指数并作季节调整；说出剩余法测定循环波动的步骤。

数据的分类

类型	含义	例子
截面数据	同一时间、不同单位的观测值	某一年各地区的社会消费品零售总额
时间序列数据	同一单位、按时间先后排列的观测值	某企业连续 20 个季度的销售额
平行数据（面板数据）	多个单位、各自多个时期的观测值	若干家门店连续若干个月的客流量

时间序列的组成因素与模型

四个组成因素：

• 长期趋势（T）：较长时期内持续上升、下降或平稳的基本走向；
• 季节性变动（S）：一年以内随季节更替而重复出现的周期性波动，周期固定（12 个月或 4 个季度）；
• 循环波动（C）：周期在一年以上、长短和幅度不固定的涨落交替，如经济的扩张与收缩；
• 不规则波动（I）：偶然因素引起的、无规律的变动。

模型	形式	适用情形
加法模型	$Y=T+S+C+I$Y=T+S+C+I	各因素相互独立，季节等波动的幅度不随趋势水平变化，各因素与 $Y$Y 单位相同
乘法模型	$Y=T\times S\times C\times I$Y=T×S×C×I	各因素相互影响，波动幅度随趋势水平同比例变化；$T$T 用原单位，$S$S、$C$C、$I$I 用相对数（百分比）

实际分析中乘法模型用得更多，下面的季节指数都按乘法模型讲。

长期趋势的确定

移动平均法

把相邻 $k$k 期的数据依次平均，得到一列新的数，削弱短期波动，显出趋势。移动平均间隔长度的确定：数据有周期性波动时，间隔长度应等于周期长度，才能把周期波动消掉——季度数据取 4，月度数据取 12。间隔为奇数，平均值正对中间一期；间隔为偶数，要再作一次两项移动平均（移正平均）才能对准某一期。移动平均会损失首尾若干期的数据。

最小二乘法测定直线趋势

拟合 $\hat{T}=a+bt$T^=a+bt。把时间 $t$t 编成以中间为 0 的序号（奇数期取 $\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$…,−2,−1,0,1,2,…），使 $\sum t=0$∑t=0，公式就简化为：

$$a=\frac{\sum y}{n},\qquad b=\frac{\sum ty}{\sum t^2}$$a=n∑y​,b=∑t2∑ty​

偶数期可取 $\dots,-3,-1,1,3,\dots$…,−3,−1,1,3,…，同样使 $\sum t=0$∑t=0。

季节变动的测定与调整

季节指数反映各月（季）比全年平均高或低多少，按季度算时各季指数之和为 400%，按月算时为 1200%。

方法	步骤	前提
按月（季）平均法	算各年同月（季）的平均数，再除以全部数据的总平均数	数列没有明显的长期趋势
移动平均剔除法	先求中心化移动平均（相当于 $T\times C$T×C）；原数列除以它得 $S\times I$S×I；把各年同月（季）的 $S\times I$S×I 平均，消去 $I$I；最后调整使指数之和为 400% 或 1200%	数列有长期趋势

季节调整：用原数列除以对应的季节指数，$\dfrac{Y}{S}=T\times C\times I$SY​=T×C×I，得到消除季节影响后的数据，便于比较相邻月份或季度。

循环变动因素与不规则因素的测定：剩余法

剩余法的思路是「层层剔除，剩下的就是循环」：

1. 用移动平均剔除法求出季节指数，用原数列除以季节指数，消去 $S$S；
2. 再除以长期趋势值 $T$T，剩下 $C\times I$C×I；
3. 对 $C\times I$C×I 作适当项数的移动平均，消去不规则波动 $I$I，得到循环波动 $C$C；
4. 不规则因素可由 $\dfrac{C\times I}{C}$CC×I​ 得到。

易错提醒

• ❌ 季节性变动是指受春夏秋冬气候影响的变动，与节假日无关。
  ✅ 凡一年之内按固定周期重复出现的变动都算，包括节假日、开学季等社会因素。

• ❌ 季度数据求趋势，用 3 期移动平均就够了。
  ✅ 有季节波动时间隔要等于周期，季度数据取 4 期并移正。

• ❌ 循环波动和季节变动都是周期性的，没有区别。
  ✅ 季节变动周期在一年以内且固定，循环波动周期一年以上且长短不一。

• ❌ 按季平均法可以用在趋势明显的数列上。
  ✅ 有明显趋势时同季平均数会混进趋势，应改用移动平均剔除法。

例题精讲

例题 1（按季平均法）

某景区三年各季度门票收入（百万元）如下：第一年 22、35、58、25；第二年 26、33、54、27；第三年 24、34、56、26。数列没有明显趋势。求各季度的季节指数。

答案：一季度约 68.6%，二季度约 97.1%，三季度约 160%，四季度约 74.3%。

解析：同季平均：一季度 $(22+26+24)\div3=24$(22+26+24)÷3=24，二季度 34，三季度 56，四季度 26；总平均 $(24+34+56+26)\div4=35$(24+34+56+26)÷4=35。季节指数：$24\div35\approx68.6\%$24÷35≈68.6%，$34\div35\approx97.1\%$34÷35≈97.1%，$56\div35=160\%$56÷35=160%，$26\div35\approx74.3\%$26÷35≈74.3%，合计 400%。解释：三季度是旺季，收入比季平均水平高六成。

例题 2（最小二乘法求直线趋势）

某企业 5 年的产量（万件）为 52、55、60、63、70。用最小二乘法拟合直线趋势，并预测下一年的趋势值。

答案：$\hat{T}=60+4.4t$T^=60+4.4t（第 3 年 $t=0$t=0），下一年趋势值 73.2 万件。

解析：取 $t=-2,-1,0,1,2$t=−2,−1,0,1,2，$\sum y=300$∑y=300，$a=300\div5=60$a=300÷5=60；$\sum ty=-104-55+0+63+140=44$∑ty=−104−55+0+63+140=44，$\sum t^2=10$∑t2=10，$b=44\div10=4.4$b=44÷10=4.4。下一年 $t=3$t=3：$60+4.4\times3=73.2$60+4.4×3=73.2。

本节小结

• 截面数据（同时不同单位）、时间序列数据（同单位不同时）、平行数据（多单位多时期）。
• 四因素 T、S、C、I；加法模型各因素独立同单位，乘法模型 $S$S、$C$C、$I$I 为相对数。
• 移动平均间隔等于周期，偶数项要移正；最小二乘直线趋势在 $\sum t=0$∑t=0 时 $a=\bar{y}$a=yˉ​、$b=\sum ty/\sum t^2$b=∑ty/∑t2。
• 季节指数：无趋势用按月（季）平均法，有趋势用移动平均剔除法；季度指数和为 400%；季节调整用 $Y/S$Y/S。
• 剩余法：剔除 $S$S 和 $T$T 得 $C\times I$C×I，再移动平均消去 $I$I 得 $C$C。