弹性理论：需求弹性的计算与运用

本节导读

这一节讲大纲经济学微观部分第 2 条「需求与供给的弹性理论及均衡价格的形成」中的弹性部分（需求、供给与均衡价格在上一节）。考试范围是：需求弹性的概念，需求的价格弹性，需求的收入弹性，需求的交叉价格弹性；考试要求掌握三种弹性的定义及其计算，理解边际收益的概念，掌握并会运用需求的价格弹性与收益之间的关系，理解影响需求的价格弹性的主要因素。

学完你应当能：算点弹性和弧弹性并判断弹性类型；用弹性判断提价或降价对总收益的影响；由收入弹性、交叉弹性的正负和大小判断商品类型。

需求弹性的概念

弹性衡量一个变量对另一个变量变动的反应程度：

$$\text{弹性系数}=\frac{\text{因变量变动的百分比}}{\text{自变量变动的百分比}}$$弹性系数=自变量变动的百分比因变量变动的百分比​

它是两个百分比之比，与计量单位无关，所以不同商品之间可以比较。需求弹性按引起需求量变动的因素分为价格弹性、收入弹性和交叉价格弹性。

需求的价格弹性

价格弹性衡量需求量对商品自身价格变动的反应程度。需求量与价格反方向变动，通常取正值：

$$E_d=-\frac{\Delta Q/Q}{\Delta P/P}$$Ed​=−ΔP/PΔQ/Q​

计算方法	公式	用在
点弹性	$E_d=-\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\cdot\dfrac{P}{Q}$Ed​=−dPdQ​⋅QP​	需求曲线上某一点，价格变动很小
弧弹性（中点公式）	$E_d=-\dfrac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot\dfrac{(P_1+P_2)/2}{(Q_1+Q_2)/2}$Ed​=−ΔPΔQ​⋅(Q1​+Q2​)/2(P1​+P2​)/2​	两点之间，涨价降价算出同一个数

类型	弹性系数	含义
富有弹性	$E_d>1$Ed​>1	需求量变动的百分比大于价格变动的百分比
单位弹性	$E_d=1$Ed​=1	两者相等
缺乏弹性	$0<E_d<1$0<Ed​<1	需求量变动的百分比小于价格变动的百分比
完全无弹性	$E_d=0$Ed​=0	需求曲线垂直
完全弹性	$E_d\to\infty$Ed​→∞	需求曲线水平

线性需求曲线上各点的弹性并不相同：中点处单位弹性，中点以上富有弹性，中点以下缺乏弹性。斜率不等于弹性。

影响需求的价格弹性的主要因素

• 替代品的多少与替代程度：替代品越多、越接近，弹性越大；
• 商品对消费者的重要程度：生活必需品弹性小，奢侈品弹性大；
• 支出在总收入中所占的比重：比重越大，弹性越大；
• 商品用途的广泛性：用途越广，弹性越大；
• 时间长短：考察的时间越长，消费者越有机会调整，弹性越大；
• 商品定义的宽窄：定义越窄（某一品牌），替代品越多，弹性越大。

边际收益与价格弹性和收益的关系

总收益 $TR=P\times Q$TR=P×Q。边际收益 $MR$MR 是多卖一单位商品带来的总收益的增量。对向右下方倾斜的需求曲线：

$$MR=P\left(1-\frac{1}{E_d}\right)$$MR=P(1−Ed​1​)

弹性	降价对总收益	提价对总收益	边际收益
$E_d>1$Ed​>1	增加	减少	$MR>0$MR>0
$E_d=1$Ed​=1	不变	不变	$MR=0$MR=0，总收益最大
$E_d<1$Ed​<1	减少	增加	$MR<0$MR<0

这就是厂商定价的基本逻辑：富有弹性的商品适合「薄利多销」，缺乏弹性的商品降价反而减收。

需求的收入弹性与交叉价格弹性

弹性	公式	判断
收入弹性	$E_M=\dfrac{\Delta Q/Q}{\Delta M/M}$EM​=ΔM/MΔQ/Q​	$E_M>1$EM​>1 奢侈品；$0<E_M<1$0<EM​<1 必需品；$E_M<0$EM​<0 低档品
交叉价格弹性	$E_{XY}=\dfrac{\Delta Q_X/Q_X}{\Delta P_Y/P_Y}$EXY​=ΔPY​/PY​ΔQX​/QX​​	$E_{XY}>0$EXY​>0 替代品；$E_{XY}<0$EXY​<0 互补品；$E_{XY}=0$EXY​=0 两者无关

收入弹性与交叉弹性要保留正负号，符号本身就是判断依据。

供给弹性（拓展，大纲考试范围未单列，了解即可）：$E_s=\dfrac{\Delta Q_s/Q_s}{\Delta P/P}$Es​=ΔP/PΔQs​/Qs​​，衡量供给量对价格的反应，生产周期越长、扩产越难，供给弹性越小。

易错提醒

• ❌ 线性需求曲线的斜率处处相同，所以各点的弹性也相同。
  ✅ 点弹性还要乘以价格与数量之比，沿线性需求曲线往下走，弹性逐渐变小。

• ❌ 总收益最大的地方，边际收益也最大。
  ✅ 总收益最大时边际收益为 0，对应单位弹性的那一点。

• ❌ 交叉价格弹性也和价格弹性一样取绝对值。
  ✅ 交叉弹性和收入弹性要看正负号，符号决定商品关系和类型。

• ❌ 弧弹性用变动前的价格和数量作基数就行。
  ✅ 中点公式用两点的平均值作基数，涨价和降价才算出同一个数。

例题精讲

例题 1（点弹性与边际收益）

某商品需求函数 $Q=120-2P$Q=120−2P。求 $P=40$P=40 时的需求价格弹性和边际收益，并判断此时降价对总收益的影响。

答案：$E_d=2$Ed​=2，$MR=20$MR=20，降价会增加总收益。

解析：$P=40$P=40 时 $Q=40$Q=40，$\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}=-2$dPdQ​=−2，$E_d=2\times\dfrac{40}{40}=2>1$Ed​=2×4040​=2>1，富有弹性。$MR=40\times(1-\dfrac{1}{2})=20>0$MR=40×(1−21​)=20>0，多卖一单位总收益还会增加，所以降价增收。验算：反需求函数 $P=60-0.5Q$P=60−0.5Q，$TR=60Q-0.5Q^2$TR=60Q−0.5Q2，$MR=60-Q$MR=60−Q，$Q=40$Q=40 时 $MR=20$MR=20。

例题 2（弧弹性）

某健身房月卡价格由 50 元降到 40 元，月销量由 300 张增加到 400 张。用中点公式求需求价格弧弹性。

答案：约 1.29。

解析：$E_d=\dfrac{100}{10}\times\dfrac{(50+40)/2}{(300+400)/2}=10\times\dfrac{45}{350}\approx1.29$Ed​=10100​×(300+400)/2(50+40)/2​=10×35045​≈1.29，富有弹性，降价后总收益由 15000 元增加到 16000 元，与判断一致。

本节小结

• 弹性 = 变动百分比之比；价格弹性取正值，点弹性用导数，弧弹性用中点公式。
• $E_d>1$Ed​>1 降价增收，$E_d<1$Ed​<1 提价增收，$E_d=1$Ed​=1 总收益最大；$MR=P(1-1/E_d)$MR=P(1−1/Ed​)。
• 影响价格弹性：替代品、必需程度、支出比重、用途、时间、定义宽窄。
• 收入弹性：大于 1 奢侈品、0 到 1 必需品、负值低档品。
• 交叉弹性：正值替代品、负值互补品、零无关。