假设检验

本节导读

这一节对应大纲应用统计学第 4 条「假设检验」。大纲的考试范围是：两类错误，显著性水平的选择，原假设与备择假设的选择，双侧检验与单侧检验，假设检验的一般步骤以及特殊情况下的假设检验方法；假设检验与区间估计的关系。考试要求还点名了五类检验：总体均值（已知或未知总体方差）、两个总体均值差（已知或未知总体方差）、总体方差（未知总体均值）、总体比率（大样本）、两个总体比率的差（大样本），并要求「正确计算得出结果，并能正确解释结果」。

学完你应当能：针对实际问题写对原假设和备择假设、选对单侧或双侧；说清两类错误与显著性水平的关系；按条件选统计量、算出数值、对照临界值下结论，并用一句话解释结论。

假设检验的目的与思路

假设检验的目的，是用样本信息判断关于总体参数的某个说法能不能成立。它依据小概率原理，带有反证法的味道：先假定原假设成立，算出在这一前提下出现当前样本结果（或更极端结果）的可能性；可能性小于事先定的显著性水平 $\alpha$α，就拒绝原假设，否则不拒绝。

原假设与备择假设的选择

原假设 $H_0$H0​ 与备择假设 $H_1$H1​ 互相对立、二者必居其一。选择时三条经验：

1. 想用数据证明的结论放在 $H_1$H1​；
2. 等号放在 $H_0$H0​（$=$=、$\ge$≥、$\le$≤ 都归原假设）；
3. 原有的、公认的、不能轻易否定的说法放在 $H_0$H0​，要推翻它必须有足够的证据。

备择假设的形式	检验类型	拒绝域
$H_1:\mu\ne\mu_0$H1​:μ=μ0​	双侧检验	两侧各 $\alpha/2$α/2
$H_1:\mu>\mu_0$H1​:μ>μ0​	右侧（上侧）检验	右侧 $\alpha$α
$H_1:\mu<\mu_0$H1​:μ<μ0​	左侧（下侧）检验	左侧 $\alpha$α

只问「有没有变化」用双侧；问「是否提高了」「是否低于标准」这类有方向的问题用单侧。

两类错误与显著性水平

错误	含义	概率
第一类错误（弃真）	$H_0$H0​ 为真却被拒绝	$\alpha$α，即显著性水平
第二类错误（取伪）	$H_0$H0​ 为假却没有被拒绝	$\beta$β

样本容量一定时，$\alpha$α 减小则 $\beta$β 增大；要同时减小两类错误，只能增大样本容量。

显著性水平的选择要看两类错误的后果：错误地拒绝原假设代价大，就把 $\alpha$α 定小（如 0.01）；没能发现原假设为假的代价大，就不宜把 $\alpha$α 定得太小，可以取 0.10，或者增加样本。

假设检验的一般步骤

1. 提出原假设和备择假设；
2. 选择检验统计量，确定它在 $H_0$H0​ 成立时的分布；
3. 给定显著性水平 $\alpha$α，查出临界值，写出拒绝域；
4. 用样本数据算出统计量的值；
5. 作出决策（拒绝或不拒绝 $H_0$H0​），并解释它在实际问题里的含义。

五类检验的统计量

检验对象与条件	检验统计量	分布
均值，已知总体方差	$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$Z=σ/n​xˉ−μ0​​	$N(0,1)$N(0,1)
均值，未知总体方差（正态、小样本）	$t=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$t=s/n​xˉ−μ0​​	$t(n-1)$t(n−1)
方差，未知总体均值（正态）	$\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$χ2=σ02​(n−1)s2​	$\chi^2(n-1)$χ2(n−1)
比率（大样本）	$Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$Z=p0​(1−p0​)/n​p^​−p0​​	近似 $N(0,1)$N(0,1)

两个总体的检验（原假设一般为两个参数相等）：

检验对象与条件	检验统计量	分布
均值差，已知两总体方差	$Z=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}$Z=σ12​/n1​+σ22​/n2​​xˉ1​−xˉ2​​	$N(0,1)$N(0,1)
均值差，方差未知但相等（正态、小样本）	$t=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$t=sp​1/n1​+1/n2​​xˉ1​−xˉ2​​	$t(n_1+n_2-2)$t(n1​+n2​−2)
比率差（大样本）	$Z=\dfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(1/n_1+1/n_2)}}$Z=pˉ​(1−pˉ​)(1/n1​+1/n2​)​p^​1​−p^​2​​	近似 $N(0,1)$N(0,1)

比率差检验里的 $\bar{p}=\dfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$pˉ​=n1​+n2​x1​+x2​​ 是两样本合并的比率：原假设认为两个比率相等，就用合并后的比率估计这个共同值。单个比率的检验同理，标准误里用的是原假设给的 $p_0$p0​。

特殊情况下的假设检验方法：大纲只列了这个名目，没有展开。一种常见的理解是指不能直接套用上表的情形——总体方差未知时大样本可以用 $s$s 代替 $\sigma$σ 作近似的 z 检验，两总体方差未知且不等时对 t 检验作校正，等等；具体讲法以《大纲及指南》为准。

假设检验与区间估计的关系

两者用的是同一个抽样分布。显著性水平 $\alpha$α 的双侧检验与置信水平 $1-\alpha$1−α 的置信区间一一对应：$\mu_0$μ0​ 落在区间外，就在 $\alpha$α 水平上拒绝 $H_0:\mu=\mu_0$H0​:μ=μ0​；落在区间内，就不拒绝。单侧检验对应单侧置信限。

易错提醒

• ❌ 没有拒绝原假设，就证明了原假设是对的。
  ✅ 不拒绝只说明证据不足，并没有证明原假设为真。

• ❌ 想证明的新结论放在原假设里，检验后「接受」它。
  ✅ 想证明的放在备择假设，靠拒绝原假设来支持它。

• ❌ 单个比率检验的标准误用样本比率 $\hat{p}$p^​ 计算。
  ✅ 检验时假定 $H_0$H0​ 成立，标准误用 $p_0$p0​；区间估计才用 $\hat{p}$p^​。

• ❌ 统计量落进拒绝域，说明原假设一定是错的。
  ✅ 拒绝原假设也可能犯错——原假设其实为真时，这种错判的概率就是 $\alpha$α。

例题精讲

例题 1（均值，未知总体方差）

某饮料厂标示每瓶容量 500 毫升。质检部门抽 16 瓶，样本均值 496 毫升、样本标准差 8 毫升，容量近似正态。在 $\alpha=0.05$α=0.05 下能否认为平均容量低于标示值？（$t_{0.05}(15)=1.753$t0.05​(15)=1.753）

答案：拒绝原假设，可以认为平均容量低于 500 毫升。

解析：要证明「低于」，$H_0:\mu\ge500$H0​:μ≥500，$H_1:\mu<500$H1​:μ<500，左侧检验。$t=(496-500)\div(8\div\sqrt{16})=-4\div2=-2$t=(496−500)÷(8÷16​)=−4÷2=−2。拒绝域 $t<-1.753$t<−1.753，$-2<-1.753$−2<−1.753，拒绝 $H_0$H0​。解释：在 0.05 的显著性水平下，样本证据表明该厂每瓶平均容量不足标示的 500 毫升。

例题 2（比率，大样本）

某网店声称好评率至少 90%。随机抽 400 笔订单，好评 340 笔。在 $\alpha=0.05$α=0.05 下检验这一说法（$z_{0.05}=1.645$z0.05​=1.645）。

答案：拒绝原假设，不能认可「至少 90%」的说法。

解析：$H_0:p\ge0.9$H0​:p≥0.9，$H_1:p<0.9$H1​:p<0.9。$\hat{p}=340\div400=0.85$p^​=340÷400=0.85，标准误 $\sqrt{0.9\times0.1\div400}=0.015$0.9×0.1÷400​=0.015，$Z=(0.85-0.9)\div0.015\approx-3.33<-1.645$Z=(0.85−0.9)÷0.015≈−3.33<−1.645，拒绝 $H_0$H0​。

本节小结

• 想证明的放 $H_1$H1​，等号放 $H_0$H0​；$H_1$H1​ 的形式决定双侧、左侧还是右侧。
• 第一类错误弃真（概率 $\alpha$α），第二类错误取伪（概率 $\beta$β）；样本一定时此消彼长，增大样本可同时减小。
• 五步：假设、统计量、拒绝域、计算、决策并解释。
• 均值看方差已知与否（z 或 t），方差用 $\chi^2(n-1)$χ2(n−1)，比率用 $p_0$p0​ 算标准误，比率差用合并比率。
• 双侧检验与置信区间对应：$\mu_0$μ0​ 不在 $1-\alpha$1−α 置信区间内就在 $\alpha$α 水平上拒绝。