随机变量以及抽样分布

本节导读

这一节对应大纲应用统计学第 2 条「随机变量以及抽样分布」。大纲的考试范围是：0—1 分布，二项分布，正态分布，t－分布，χ²－分布，F－分布；总体与样本，抽样方法，统计量，样本统计量，正态总体的样本均值和样本方差的分布，独立同分布情况下的中心极限定理。

学完你应当能：写出常用分布的概率公式、期望和方差，会把正态分布标准化后查概率；说出四种抽样方法的做法与适用条件；知道样本均值、样本方差各服从什么分布——这是下两节参数估计和假设检验的地基。

常用随机变量的分布

分布	概率分布或密度	期望	方差
0—1 分布	$P(X=1)=p$P(X=1)=p，$P(X=0)=1-p$P(X=0)=1−p	$p$p	$p(1-p)$p(1−p)
二项分布 $B(n,p)$B(n,p)	$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k，$k=0,1,\dots,n$k=0,1,…,n	$np$np	$np(1-p)$np(1−p)
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2)	$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​	$\mu$μ	$\sigma^2$σ2

二项分布可以看成 $n$n 次独立重复试验中「成功」的次数，每次试验本身就是一个 0—1 分布。

正态分布的曲线以 $\mu$μ 为中心左右对称，$\sigma$σ 越大曲线越矮胖。任何正态变量都可以标准化：

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$Z=σX−μ​∼N(0,1)

标准正态分布函数记作 $\Phi(z)$Φ(z)，有 $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$Φ(−z)=1−Φ(z)。几个常用值：$\Phi(1.645)\approx0.95$Φ(1.645)≈0.95，$\Phi(1.96)\approx0.975$Φ(1.96)≈0.975，$\Phi(2.576)\approx0.995$Φ(2.576)≈0.995。

三个抽样分布：t、χ²、F

设 $Z_1,\dots,Z_n$Z1​,…,Zn​ 相互独立，都服从标准正态分布。

分布	构造	形状与性质
$\chi^2(n)$χ2(n)	$Z_1^2+Z_2^2+\dots+Z_n^2$Z12​+Z22​+⋯+Zn2​	取值非负、右偏；期望 $n$n，方差 $2n$2n
$t(n)$t(n)	$\dfrac{Z}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}$χ2(n)/n​Z​（分子分母独立）	关于 0 对称，比标准正态「尾巴更厚」；$n$n 增大时趋近标准正态
$F(m,n)$F(m,n)	$\dfrac{\chi^2(m)/m}{\chi^2(n)/n}$χ2(n)/nχ2(m)/m​（两个卡方独立）	取值非负、右偏；若 $F\sim F(m,n)$F∼F(m,n)，则 $\dfrac{1}{F}\sim F(n,m)$F1​∼F(n,m)

这三个分布都带「自由度」，查临界值时先确定自由度。考试一般会给出所需的临界值。

总体、样本与抽样方法

总体是研究对象的全体，构成总体的每个单位是个体；从总体中抽出的一部分个体叫样本，样本中个体的数目叫样本容量。

抽样方法	做法	适用条件
简单随机抽样	每个个体被抽中的机会相等，各次抽取相互独立	总体不大、个体差异不太大，是其他方法的基础
分层抽样	先按某个标志把总体分成若干层，再在各层内随机抽取	层内差异小、层间差异大时效果好，如按行业分层调查企业用工
系统抽样（等距抽样）	把个体排成顺序，随机定起点后每隔 $k$k 个抽一个	总体名单有序、规模大；名单若有周期性，间隔与周期重合会产生偏差
整群抽样	把总体分成若干群，随机抽若干群，抽中的群全部调查	群内差异大、群间差异小时效果好；组织方便，但误差往往较大

统计量与正态总体的抽样分布

统计量是样本的函数，而且不含任何未知参数。常用的样本统计量：

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,\qquad S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$$Xˉ=n1​i=1∑n​Xi​,S2=n−11​i=1∑n​(Xi​−Xˉ)2

总体服从 $N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2) 时，有四个结论：

1. $\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$Xˉ∼N(μ,nσ2​)，即 $\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$σ/n​Xˉ−μ​∼N(0,1)；
2. $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$σ2(n−1)S2​∼χ2(n−1)；
3. $\bar{X}$Xˉ 与 $S^2$S2 相互独立；
4. 用 $S$S 代替未知的 $\sigma$σ：$\dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$S/n​Xˉ−μ​∼t(n−1)。

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$n​σ​ 叫样本均值的标准误，样本容量变成原来的 4 倍，标准误减半。

中心极限定理

独立同分布情况下的中心极限定理：从均值为 $\mu$μ、方差为 $\sigma^2$σ2 的任意总体中抽取容量为 $n$n 的独立同分布样本，当 $n$n 充分大时，$\bar{X}$Xˉ 近似服从 $N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$N(μ,nσ2​)。

要点：不要求总体是正态的；样本容量越大近似越好，实际中常把 $n\ge30$n≥30 当作大样本。下两节的「大样本情况下对总体比率进行区间估计 / 假设检验」就靠这个定理。

易错提醒

• ❌ 只要用了样本数据算出来的量就是统计量。
  ✅ 统计量里不能含未知参数；含未知 $\mu$μ 的式子不是统计量。

• ❌ 中心极限定理要求总体服从正态分布。
  ✅ 总体分布任意，只要独立同分布、方差有限、样本足够大。

• ❌ 样本方差 $S^2$S2 本身服从卡方分布。
  ✅ 服从卡方分布的是 $(n-1)S^2/\sigma^2$(n−1)S2/σ2，自由度 $n-1$n−1。

• ❌ 系统抽样按固定间隔抽，所以总比简单随机抽样更有代表性。
  ✅ 名单若有周期性、抽样间隔又与周期重合，系统抽样会系统地偏向某一类个体。

例题精讲

例题 1（二项分布）

某型号接插件的次品率为 0.1，随机抽 5 件，恰有 1 件次品的概率是多少？

答案：约 0.328。

解析：次品数 $X\sim B(5,\,0.1)$X∼B(5,0.1)。$P(X=1)=\binom{5}{1}\times0.1\times0.9^4=5\times0.1\times0.6561\approx0.328$P(X=1)=(15​)×0.1×0.94=5×0.1×0.6561≈0.328。

例题 2（中心极限定理）

某快递网点包裹重量的均值为 2 千克、标准差为 0.6 千克，分布形状未知。随机抽 36 件，平均重量超过 2.2 千克的概率约为多少？（已知 $\Phi(2)=0.9772$Φ(2)=0.9772）

答案：约 0.0228。

解析：$n=36$n=36 是大样本，由中心极限定理 $\bar{X}$Xˉ 近似服从正态分布，标准误 $0.6\div\sqrt{36}=0.1$0.6÷36​=0.1。$Z=(2.2-2)\div0.1=2$Z=(2.2−2)÷0.1=2，$P(\bar{X}>2.2)\approx1-\Phi(2)=0.0228$P(Xˉ>2.2)≈1−Φ(2)=0.0228。

本节小结

• 0—1 分布期望 $p$p、方差 $p(1-p)$p(1−p)；二项分布期望 $np$np、方差 $np(1-p)$np(1−p)；正态分布标准化 $Z=(X-\mu)/\sigma$Z=(X−μ)/σ。
• 卡方是独立标准正态的平方和；t 对称、尾厚、趋近正态；F 是两个卡方各除自由度之比。
• 四种抽样：简单随机、分层（层间差异大）、系统（防周期性）、整群（群内差异大）。
• 正态总体：$\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$Xˉ∼N(μ,σ2/n)，$(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$(n−1)S2/σ2∼χ2(n−1)，$\sigma$σ 未知用 $t(n-1)$t(n−1)。
• 中心极限定理：大样本下 $\bar{X}$Xˉ 近似正态，与总体分布无关。