数据的整理与图形表示

本节导读

这一节对应大纲应用统计学第 1 条「数据的整理与图形表示」。大纲的考试范围是「数据的整理与图形表示，数据的描述性指标以及应用」：要掌握数据的分组方法，掌握直方图、饼形图、茎叶图、条形图，会把数据转化为频数或频率直方图，能按用途选图并由图形获得数据的一般特征；要掌握集中趋势的度量（众数、中数、平均数、四分位数）和变异趋势的度量（方差、标准差、极差、四分位差），了解它们的适用条件，并能用来解释实际问题。

学完你应当能：给一组原始数据分组、列频数表、选对图形；算出平均数、中数、四分位数、方差和标准差，并说清楚各自什么时候用。

数据的分组

原始数据杂乱，先排序、再分组，才能看出分布的样子。

分组方式	做法	适用
单项式分组	每个变量值单独作一组	离散变量、取值不多
组距分组	把取值范围划分成若干区间，每个区间一组	连续变量或取值很多的离散变量

组距分组的几个概念：

• 组数与组距：等距分组时 $d=\dfrac{\text{最大值}-\text{最小值}}{\text{组数}}$d=组数最大值−最小值​，算出来一般向上取成整数或便于阅读的数，保证各组合起来能盖住全部数据。
• 组限：每组的下限和上限。连续变量相邻两组的组限重叠时，按「上组限不在内」处理，即恰好等于某组上限的数据归入下一组。
• 组中值：$\dfrac{\text{下限}+\text{上限}}{2}$2下限+上限​，用来代表这一组数据的一般水平。
• 频数与频率：落在各组的数据个数叫频数，频数除以总数叫频率；从小到大逐组相加得到累积频数、累积频率。

数据的图形表示

图形	适合的数据	特点
直方图	分组后的数值型数据	矩形相连，横轴是组距，矩形面积（等距时即高度）表示频数或频率
条形图	分类数据	条形彼此分开，长短表示各类的频数，排列顺序可调
饼形图	分类数据的构成	圆内扇形面积表示各部分占总体的比例，各部分比例相加等于 1
茎叶图	数值型数据、数据量不大	把数分成「茎」（高位）和「叶」（低位），既显示分布形状，又保留每个原始数值

频数（频率）直方图的步骤

1. 排序，找出最大值、最小值；
2. 确定组数，算组距，写出各组组限；
3. 逐个归组，列出频数分布表，再算频率；
4. 以横轴为各组组限、纵轴为频数（或频率）画相连的矩形。

由直方图可以读出数据的一般特征：集中在哪个区间（峰在哪里）、左右是否对称、尾巴偏向哪一侧、分散程度大不大。

集中趋势的度量

指标	含义	适用条件
众数	出现次数最多的值	分类、顺序、数值数据都能用；不受极端值影响，但可能不唯一或不存在
中数（中位数）	排序后居中的值，位置 $\dfrac{n+1}{2}$2n+1​	顺序和数值数据；不受极端值影响，偏态数据常用
平均数	全部数据之和除以个数	数值数据；利用了全部信息，但受极端值影响
四分位数	排序后处在 25%、75% 位置的值	顺序和数值数据，用来描述分布的位置与中间一半数据的范围

分组数据的平均数用组中值加权：$\bar{x}=\dfrac{\sum m_i f_i}{\sum f_i}$xˉ=∑fi​∑mi​fi​​，其中 $m_i$mi​ 是组中值、$f_i$fi​ 是频数。

四分位数的一种常用算法：下四分位数 $Q_1$Q1​ 的位置是 $\dfrac{n+1}{4}$4n+1​，上四分位数 $Q_3$Q3​ 的位置是 $\dfrac{3(n+1)}{4}$43(n+1)​，位置不是整数时在相邻两数之间按比例取值。不同教材的位置公式略有出入，作答时写明自己用的公式即可。

三者的关系：分布对称时平均数、中数、众数相等；右偏（正偏，尾巴在右）时平均数 > 中数 > 众数；左偏（负偏）时顺序相反。

变异趋势的度量

指标	公式	适用条件
极差	$R=\text{最大值}-\text{最小值}$R=最大值−最小值	计算简单，但只用了两个极端值，最容易受极端值影响
四分位差	$Q_3-Q_1$Q3​−Q1​	反映中间 50% 数据的离散程度，不受极端值影响
方差	样本 $s^2=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$s2=n−1∑(xi​−xˉ)2​，总体 $\sigma^2=\dfrac{\sum (x_i-\mu)^2}{N}$σ2=N∑(xi​−μ)2​	利用全部数据，最常用；单位是原单位的平方
标准差	方差的算术平方根	与原数据单位相同，便于解释

样本方差除以 $n-1$n−1 而不是 $n$n，是为了让它成为总体方差的无偏估计（第 4 节「点估计的评价标准」再讲）。

易错提醒

• ❌ 条形图和直方图只是叫法不同。
  ✅ 条形图用于分类数据、条形分开；直方图用于分组的数值数据、矩形相连，面积表示频数。

• ❌ 有极端值时，平均数最能代表一般水平。
  ✅ 平均数受极端值拉动，偏态明显时中数往往更有代表性。

• ❌ 样本方差和总体方差都除以数据个数。
  ✅ 样本方差除以 $n-1$n−1，总体方差除以 $N$N。

• ❌ 标准差越大，说明平均数越大。
  ✅ 标准差衡量的是离散程度，与平均数的大小无关。

例题精讲

例题 1（分组数据的平均数）

某客服中心抽查 50 张工单的处理时长：0—10 分钟 8 张，10—20 分钟 20 张，20—30 分钟 15 张，30—40 分钟 7 张。求平均处理时长，并指出众数所在的组。

答案：平均约 19.2 分钟；众数组是 10—20 分钟。

解析：组中值依次为 5、15、25、35。$\bar{x}=(5\times8+15\times20+25\times15+35\times7)\div50=(40+300+375+245)\div50=960\div50=19.2$xˉ=(5×8+15×20+25×15+35×7)÷50=(40+300+375+245)÷50=960÷50=19.2（分钟）。频数最多的是 10—20 分钟这一组（20 张），众数落在这一组。

例题 2（四分位数与两种离散指标）

某门店 11 天的日客单数排序后为：21、23、25、26、28、30、31、33、35、38、60。求中数、四分位差和极差，并说明哪个离散指标更能代表这家店的日常波动。

答案：中数 30，四分位差 10，极差 39；四分位差更能代表日常波动。

解析：$n=11$n=11。中数位置 $(11+1)\div2=6$(11+1)÷2=6，是 30；$Q_1$Q1​ 位置 $12\div4=3$12÷4=3，是 25；$Q_3$Q3​ 位置 $36\div4=9$36÷4=9，是 35；四分位差 $35-25=10$35−25=10。极差 $60-21=39$60−21=39。极差被个别促销日（60 单）拉大，四分位差只看中间一半的数据，不受这个极端值影响。顺带看到平均数 $350\div11\approx31.8$350÷11≈31.8，大于中数 30，分布右偏。

本节小结

• 分组：单项式分组与组距分组；组距 = 全距 ÷ 组数并向上取整，组中值代表一组，上组限不在内。
• 选图：直方图看数值数据分布，条形图比分类频数，饼形图看构成，茎叶图保留原始数据。
• 集中趋势：众数、中数、平均数、四分位数；右偏时平均数 > 中数 > 众数。
• 变异趋势：极差最受极端值影响，四分位差看中间一半，方差和标准差利用全部数据。
• 样本方差除以 $n-1$n−1；分组数据求平均数用组中值加权。