应用题（一）：比例、利润与浓度

本节导读

应用题在数学部分很常见，大纲没有单列「应用题」，辅导书通常把它单独成章，因为它综合用到比例、方程、不等式等知识。这一节讲和「比」有关的几类：比例与百分比、增长率、利润、浓度；下一节讲行程、工程和最值。

这几类题的共同关键是找准基准量：百分之几是「谁的」百分之几，利润率是「相对成本」还是「相对售价」，浓度是「溶质占溶液」。学完这一节，你应该能列出每类题的基本关系式，并会用特值法和十字交叉法快速求解。

比例与百分比应用题

先找基准量

「甲比乙多 20%」的基准是乙：甲 $=$= 乙 $\times1.2$×1.2；「乙比甲少百分之几」的基准换成了甲，结果不是 20%，而是 $\frac{0.2}{1.2}\approx16.7\%$1.20.2​≈16.7%。读题时先圈出「比」字后面的量，它就是基准。

按比分配

把总量按 $a:b:c$a:b:c 分配，每一份是总量除以 $a+b+c$a+b+c。例如 300 万元按 $2:3:5$2:3:5 分给三个项目，每份 30 万元，三个项目分别得 60 万元、90 万元、150 万元。

题目只给比、不给具体数量时，可以直接按比设数：甲、乙人数比是 $3:4$3:4，就设甲 $3k$3k 人、乙 $4k$4k 人，再用其他条件求 $k$k。

增长率问题

基本关系

情形	关系式
增长一次	现值 $=$= 原值 $\times(1+r)$×(1+r)
下降一次	现值 $=$= 原值 $\times(1-r)$×(1−r)
连续 $n$n 期按同一增长率	现值 $=$= 原值 $\times(1+r)^n$×(1+r)n
平均增长率	$r=\sqrt[n]{\frac{\text{现值}}{\text{原值}}}-1$r=n原值现值​​−1

平均增长率不是简单平均

两年从 100 增长到 121，总增长 21%，但平均每年增长不是 10.5%，而是 $\sqrt{1.21}-1=10\%$1.21​−1=10%。先增长 $r$r 再下降 $r$r，结果比原来少，因为第二次的基准变大了。

利润问题

基本公式

量	公式
利润	售价 $-$− 成本
利润率	利润 $\div$÷ 成本
售价	成本 $\times(1+\text{利润率})$×(1+利润率)
打折	售价 $=$= 标价 $\times$× 折扣，「八折」就是乘 0.8

例如成本 80 元，利润率 25%，售价就是 $80\times1.25=100$80×1.25=100 元。没有特别说明时，利润率都以成本为基准。

常见设问

一是「先提价再打折，仍赚多少，求成本」，设成本为 $x$x，把售价写成 $x$x 的倍数；二是「两件商品售价相同，一件赚、一件亏，总体如何」，要分别算出两件的成本，不能直接把百分数相加。

浓度问题

基本关系

浓度 $=$= 溶质 $\div$÷ 溶液，溶液 $=$= 溶质 $+$+ 溶剂。三类操作抓住不变量：加水稀释，溶质不变；蒸发水分，溶质不变；两种溶液混合，溶质和溶液都相加。

十字交叉法

浓度分别为 $a\%$a% 和 $b\%$b%（$a\lt b$a<b）的两种溶液混合成 $c\%$c%，两种溶液的质量之比是 $(b-c):(c-a)$(b−c):(c−a)。例如 20% 和 50% 的溶液混合成 30%，质量比是 $(50-30):(30-20)=2:1$(50−30):(30−20)=2:1。这个方法也适用于平均分、平均价格等「两部分混合求平均」的问题。

易错提醒

• ❌ 「甲比乙多 20%」就认为「乙比甲少 20%」。✅ 基准不同，乙比甲少的是 $\frac{0.2}{1.2}$1.20.2​，约 16.7%。

• ❌ 两年总增长 69%，平均每年增长 34.5%。✅ 平均增长率要开方：$\sqrt{1.69}-1=30\%$1.69​−1=30%。

• ❌ 利润率用售价做分母。✅ 没有特别说明时，利润率是利润除以成本。

• ❌ 浓度不同的两种溶液混合，浓度直接取平均。✅ 质量不同时要按溶质总量除以溶液总量算，或用十字交叉法。

• ❌ 把「打八折」理解成降价 80%。✅ 八折是按标价的八成出售，即乘 0.8，相当于降价 20%。

例题精讲

例题 1（利润）

某商品按成本加价 40% 标价，再打八折出售，每件仍获利 24 元，这种商品每件的成本是（　）元。

A. 150　B. 180　C. 200　D. 240　E. 300

答案：C

解析：设成本为 $x$x 元，售价为 $x\times1.4\times0.8=1.12x$x×1.4×0.8=1.12x，利润 $0.12x=24$0.12x=24，$x=200$x=200。也可以代入检验：成本 200 元，标价 280 元，八折 224 元，正好赚 24 元。

例题 2（浓度）

容器里有浓度为 20% 的盐水 300 克，要使浓度变为 25%，需要再加入（　）克盐。

A. 15　B. 20　C. 25　D. 30　E. 40

答案：B

解析：原有盐 $300\times20\%=60$300×20%=60 克。设加盐 $x$x 克，盐和盐水都增加 $x$x：$\frac{60+x}{300+x}=0.25$300+x60+x​=0.25，解得 $60+x=75+0.25x$60+x=75+0.25x，$x=20$x=20。选 A 是误以为盐水总量不变、只算了 $300\times5\%$300×5%。

例题 3（条件充分性判断）

结论：某公司今年的营业额比前年增长了 21%。条件（1）：去年的营业额比前年增长了 10%；条件（2）：今年的营业额比去年增长了 10%。

答案：C

解析：单独一个条件只知道一年的变化，另一年未知，都不充分。联合：设前年为 100，去年 110，今年 $110\times1.1=121$110×1.1=121，比前年增长 21%，联合充分。

本节小结

• 百分比题先找基准量；按比分配用「总量除以份数和」，只给比时按比设 $k$k。
• 连续增长用 $(1+r)^n$(1+r)n，平均增长率要开 $n$n 次方，不能简单平均。
• 利润 $=$= 售价 $-$− 成本，利润率以成本为基准；打几折就乘零点几。
• 浓度题抓不变量：稀释、蒸发时溶质不变，混合时溶质相加。
• 十字交叉法：$a\%$a% 与 $b\%$b% 混合成 $c\%$c%，质量比为 $(b-c):(c-a)$(b−c):(c−a)。