问题求解：速算、代入与特值

本节导读

问题求解是数学部分的第一种题型，按常见资料的口径共 15 题、每题 3 分（参考，以当年大纲为准）。每道题给出五个选项，只有一个正确，阅卷只看你涂的字母，不看过程。

这意味着做问题求解不必像解答题那样一步步写完整，选项本身就是线索：可以把选项代回去验证，可以取特殊值排除，可以估个大概就分出高下。考试又不许用计算器，这些方法能省下大量时间。学完这一节，你应该知道什么时候用代入、什么时候用特值，并掌握几种常用的速算办法。

问题求解的常用方法

方法一览

方法	适用情形	要点
直接计算	计算量小、思路直接	关键步骤写在草稿纸上，避免心算出错
代入排除	选项是具体数值，验证比求解容易	先代中间大小的选项
特值法	结论对一类数都成立，选项含字母、比例或百分数	取 0、1、100 这类好算的值
估算	选项之间差距大	只算到能分出选项为止
尾数与奇偶	选项的个位数字或奇偶性不同	只看末位就能排除
数形结合	绝对值、不等式、函数、几何问题	画数轴或草图帮助判断

拿到一道题，先看一眼选项再动笔：选项是具体的数，想想能不能代入；选项是含字母的式子或百分数，想想能不能取特值。

代入排除法

什么时候用

正着解方程或不等式比较麻烦，而把一个数代进去检验很容易时，就用代入。例如求方程 $x^3-3x=18$x3−3x=18 的实数根，选项是 1 到 5，代入 3 得 $27-9=18$27−9=18，正好成立，不用去分解高次多项式。

怎么代更快

选项通常按从小到大排列。先代中间的那个，如果算出的结果偏大，就往小的方向代；偏小就往大的方向代，一般代两三次就能找到答案。

另一种用法是排除：先用题目的一部分条件（比如必须是偶数、必须大于 10）划掉几个选项，再在剩下的里面验证。代入时要把题目里所有条件都检验一遍，只满足一部分不算。

特值法

什么时候能用

如果题目的结论对满足条件的所有数都成立，答案就和具体取哪个数无关，可以挑一个最好算的数代进去。典型信号是：选项是比例、百分数或含字母的式子，题目只给了「比」而没给具体数量。

例如一件商品先提价 10% 再降价 10%，问现价比原价怎样。设原价 100 元，提价后 110 元，降价后 $110\times0.9=99$110×0.9=99 元，所以现价比原价低 1%。

怎么取特值

题目类型	常取的特值
百分数、增长率	原来的量取 100
已知两个量的比	按比取最小的正整数
含字母的不等式、函数	取 0、1、-1 或 2
几何图形	取正方形、等边三角形等特殊图形
工程、行程中的总量	取各时间的最小公倍数

特值只能用来排除选项，不能证明一个选项一定对。如果代入后有两个选项都符合，就再换一个特值。

估算与速算

常用速算办法

办法	例子
凑整	$98\times25=(100-2)\times25=2450$98×25=(100−2)×25=2450
平方差	$103\times97=100^2-3^2=9991$103×97=1002−32=9991
完全平方	$49^2=(50-1)^2=2401$492=(50−1)2=2401
裂项	$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$n(n+1)1​=n1​−n+11​
尾数循环	$2^n$2n 的个位数字按 2、4、8、6 循环

估算

选项之间差距明显时，没必要算出精确值。比如判断 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$31​+41​+51​ 的大小，三个数约是 0.33、0.25、0.2，合起来约 0.78，选项里只要只有一个落在 0.75 到 0.8 之间，就可以直接选。选项很接近时，就要老老实实算。

易错提醒

• ❌ 每道题都从头完整演算，草稿写满一页。✅ 先看选项，能代入、能取特值、能估算的题，用最短的路径得到答案。

• ❌ 特值代入后有两个选项都符合，随便选一个。✅ 特值只能排除，两个都符合时再换一个特值检验。

• ❌ 题目给的是具体数量，也随手取特值。✅ 特值法只在结论与具体取值无关时才能用，给了具体数量就要按题目的数来算。

• ❌ 代入时只验证了一个条件就选。✅ 题目里的每个条件都要满足，漏检一个就可能选错。

• ❌ 选项很接近时还在粗估。✅ 估算适合选项差距大的题，选项接近时要精确计算。

例题精讲

例题 1（代入排除）

一个两位数，十位数字与个位数字之和为 11，把这两个数字对调后，得到的新数比原数大 45。原数是（　）。

A. 29　B. 38　C. 47　D. 56　E. 74

答案：B

解析：五个选项的数字和都是 11，只需检验对调后的差：$92-29=63$92−29=63，$83-38=45$83−38=45，正好符合；其余几个对调后的差是 27、9、$-27$−27。也可以列式：设原数十位为 $a$a、个位为 $b$b，对调后的差是 $9(b-a)=45$9(b−a)=45，得 $b-a=5$b−a=5，再与 $a+b=11$a+b=11 联立得 $a=3$a=3，$b=8$b=8。

例题 2（特值法）

已知 $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$ba​=32​，则 $\frac{a+2b}{2a-b}=$2a−ba+2b​=（　）。

A. 2　B. 4　C. 6　D. 8　E. 10

答案：D

解析：题目只给了比，结果与 $a$a、$b$b 的具体大小无关，取 $a=2$a=2，$b=3$b=3：$\frac{2+6}{4-3}=8$4−32+6​=8。一般地设 $a=2k$a=2k，$b=3k$b=3k，得 $\frac{8k}{k}=8$k8k​=8，结果一样。

例题 3（速算）

$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{9\times10}=$1×21​+2×31​+⋯+9×101​=（　）。

A. $\frac{1}{10}$101​　B. $\frac{8}{9}$98​　C. $\frac{9}{10}$109​　D. $\frac{10}{11}$1110​　E. 1

答案：C

解析：用裂项 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$n(n+1)1​=n1​−n+11​，原式 $=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$=(1−21​)+(21​−31​)+⋯+(91​−101​)，中间各项两两抵消，只剩 $1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$1−101​=109​。

本节小结

• 问题求解五选一、只看结果，先看选项再决定方法。
• 代入排除：选项是具体数值、验证容易时用，先代中间的选项，所有条件都要验。
• 特值法：结论与具体取值无关时用，百分数取 100、比例按比取数；两个选项都符合时换一个特值。
• 速算靠凑整、平方差、完全平方、裂项和尾数循环；选项差距大时估算即可。
• 考试不许用计算器，平时练习就要练这些方法。