计数原理与排列组合

本节导读

数据分析是数学部分的第四块，包括计数原理、数据描述和概率。这一节讲计数：两个计数原理、排列与组合。它既单独出题，又是下一节古典概型的基础——概率题里难的往往不是概率，而是数清楚「有多少种」。

排列组合的公式只有两个，难在判断「分类还是分步」「有没有顺序」以及处理「相邻、不相邻、至少」这些限制条件。学完这一节，你应该能判断该用排列还是组合，并会用几种固定的方法处理带限制条件的计数问题。

两个计数原理

加法原理与乘法原理

完成一件事有几类办法，每一类都能独立完成这件事，总方法数是各类方法数之和，这是加法原理（分类相加）。完成一件事要分几个步骤，每一步都完成了事情才算完成，总方法数是各步方法数之积，这是乘法原理（分步相乘）。

例如从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 2 条路，从甲地经乙地到丙地要分两步走，共 $3\times2=6$3×2=6 种走法。

怎么判断

问自己：这一步做完，事情完成了吗？完成了就是「一类」，用加法；还没完成、还要接着做，就是「一步」，用乘法。分类要不重不漏，分步要步步相连。

排列与组合

排列数与组合数

从 $n$n 个不同元素中取出 $m$m 个排成一列，叫排列；只取出、不排顺序，叫组合。

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!},\quad C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!\,(n-m)!}$$Anm​=(n−m)!n!​,Cnm​=m!Anm​​=m!(n−m)!n!​

例如 $A_5^2=5\times4=20$A52​=5×4=20，$C_5^2=\frac{20}{2}=10$C52​=220​=10。组合数有两个常用性质：$C_n^m=C_n^{n-m}$Cnm​=Cnn−m​；$C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n$Cn0​+Cn1​+⋯+Cnn​=2n。规定 $0!=1$0!=1。

有没有顺序

判断用排列还是组合，就看交换两个被选中的元素，结果变不变：选组长和副组长，交换后是不同的安排，用排列；选两个代表，交换后还是这两个人，用组合。

常用解题方法

处理限制条件

方法	适用	做法
特殊元素（位置）优先	某个元素或位置有特殊要求	先安排特殊的，再安排其余的
捆绑法	某几个元素必须相邻	把它们看成一个整体，再乘以内部的排法
插空法	某几个元素互不相邻	先排其余元素，再把它们插到空隙里
间接法	「至少」「至多」，正面情况多	用总数减去不符合要求的

分组与隔板

把元素平均分成几组时，组与组之间没有区别，要除以组数的阶乘。例如 4 个人平均分成两组，是 $\frac{C_4^2}{2!}=3$2!C42​​=3 种，而不是 6 种。