集合与函数：二次函数、指数与对数

本节导读

大纲里「函数」这一块包括集合、一元二次函数及其图像、指数函数和对数函数。另外，有二手资料称 2025 年版大纲在数学部分新增了幂函数，官方原文未见，本节末尾简要介绍，以当年大纲为准。

一元二次函数是重点，经常和方程、不等式、最值问题结合；指数和对数主要考运算法则和比较大小。学完这一节，你应该能写出二次函数的顶点和对称轴，会求闭区间上的最值，能熟练使用指数、对数的运算法则，并会用单调性比较大小。

集合

关系与运算

元素与集合是「属于」关系，记作 $a\in A$a∈A；集合与集合是「包含」关系，$A\subseteq B$A⊆B 表示 $A$A 的每个元素都在 $B$B 里。交集 $A\cap B$A∩B 是两个集合的公共元素，并集 $A\cup B$A∪B 是全部元素，补集是全集里不属于 $A$A 的元素。空集是任何集合的子集。

子集个数与元素个数

含 $n$n 个元素的集合，共有 $2^n$2n 个子集，其中真子集 $2^n-1$2n−1 个（去掉它本身）。求两个集合并集的元素个数时，要减去重复计算的部分：并集的个数等于两个集合的个数之和减去交集的个数，这就是应用题里「容斥」的道理。

一元二次函数

三种表达式

形式	表达式	用途
一般式	$y=ax^2+bx+c$y=ax2+bx+c，$a\ne0$a=0	已知图像上三个点
顶点式	$y=a(x-h)^2+k$y=a(x−h)2+k	直接看出顶点 $(h,k)$(h,k)
交点式	$y=a(x-x_1)(x-x_2)$y=a(x−x1​)(x−x2​)	已知与 $x$x 轴的两个交点

图像的性质

$a\gt0$a>0 时开口向上，$a\lt0$a<0 时开口向下。对称轴是 $x=-\frac{b}{2a}$x=−2ab​，顶点坐标是

$$\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)$$(−2ab​, 4a4ac−b2​)

与 $x$x 轴的交点个数由判别式 $\Delta=b^2-4ac$Δ=b2−4ac 决定：$\Delta\gt0$Δ>0 两个，$\Delta=0$Δ=0 一个，$\Delta\lt0$Δ<0 没有。例如 $y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$y=x2−4x+3=(x−2)2−1，顶点是 $(2,-1)$(2,−1)，与 $x$x 轴交于 $x=1$x=1 和 $x=3$x=3。

最值

在全体实数上，开口向上的抛物线在顶点处取最小值，开口向下的取最大值。在闭区间上求最值，先看对称轴在不在区间里：在里面，顶点处取一个最值，另一个最值在离对称轴较远的端点；不在里面，函数在区间上单调，最值都在端点。

指数函数与对数函数

运算法则

指数	对数（$a\gt0$a>0，$a\ne1$a=1，$M\gt0$M>0，$N\gt0$N>0）
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$am⋅an=am+n	$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$loga​(MN)=loga​M+loga​N
$(a^m)^n=a^{mn}$(am)n=amn	$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$loga​NM​=loga​M−loga​N
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$a−n=an1​	$\log_aM^n=n\log_aM$loga​Mn=nloga​M
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$anm​=nam​	换底公式 $\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$loga​b=logc​alogc​b​
$a^0=1$a0=1（$a\ne0$a=0）	$a^{\log_aN}=N$aloga​N=N，$\log_a1=0$loga​1=0，$\log_aa=1$loga​a=1

常用对数 $\lg N$lgN 就是 $\log_{10}N$log10​N，所以 $\lg2+\lg5=\lg10=1$lg2+lg5=lg10=1。

图像与单调性

指数函数 $y=a^x$y=ax（$a\gt0$a>0，$a\ne1$a=1）的图像过点 $(0,1)$(0,1)，值域是 $y\gt0$y>0；对数函数 $y=\log_ax$y=loga​x 的定义域是 $x\gt0$x>0，图像过点 $(1,0)$(1,0)。两者都是：$a\gt1$a>1 时单调增加，$0\lt a\lt1$0<a<1 时单调减少。

比较大小时，同底的直接用单调性；不同底的，先和 0、1 这样的「中间量」比。例如 $\log_32$log3​2 在 0 和 1 之间，$\log_25$log2​5 大于 2，$0.5^{3}$0.53 小于 1 但大于 0。

幂函数（二手说法，以当年大纲为准）

形如 $y=x^{\alpha}$y=xα 的函数叫幂函数，常见的有 $y=x$y=x、$y=x^2$y=x2、$y=x^3$y=x3、$y=x^{\frac{1}{2}}$y=x21​、$y=x^{-1}$y=x−1。它们的图像都经过点 $(1,1)$(1,1)；在 $x\gt0$x>0 的范围内，$\alpha\gt0$α>0 时单调增加，$\alpha\lt0$α<0 时单调减少。

易错提醒

• ❌ 求子集个数时漏掉空集和集合本身。✅ $n$n 个元素共有 $2^n$2n 个子集，空集和它本身都算在内；真子集才要去掉本身。

• ❌ 闭区间上的最小值一律取顶点。✅ 先看对称轴在不在区间里，不在区间里时最值都在端点。

• ❌ $\log_a(M+N)=\log_aM+\log_aN$loga​(M+N)=loga​M+loga​N。✅ 对数把乘法变成加法，和的对数没有这样的公式。

• ❌ 忘了对数的真数必须大于 0。✅ 解含对数的题，先写出 $x\gt0$x>0 这类定义域条件。

• ❌ 认为 $y=a^x$y=ax 一定是增函数。✅ 要看底数：$0\lt a\lt1$0<a<1 时是减函数。

例题精讲

例题 1

函数 $y=x^2-2x+3$y=x2−2x+3 在区间 $[-1,2]$[−1,2] 上的最大值与最小值之和是（　）。

A. 5　B. 6　C. 8　D. 9　E. 11

答案：C

解析：配方得 $y=(x-1)^2+2$y=(x−1)2+2，对称轴 $x=1$x=1 在区间内，最小值是 2。端点 $-1$−1 离对称轴更远，最大值是 $(-1)^2+2+3=6$(−1)2+2+3=6。和为 8。若误把端点 2 处的值 3 当成最大值，就会选 A。

例题 2

$\log_224-\log_23+\lg25+\lg4=$log2​24−log2​3+lg25+lg4=（　）。

A. 2　B. 3　C. 4　D. 5　E. 6

答案：D

解析：$\log_224-\log_23=\log_2\frac{24}{3}=\log_28=3$log2​24−log2​3=log2​324​=log2​8=3，$\lg25+\lg4=\lg100=2$lg25+lg4=lg100=2，合计 5。

例题 3

已知集合 $A=\{x\mid x^2-3x+2=0\}$A={x∣x2−3x+2=0}，$B=\{x\mid ax-2=0\}$B={x∣ax−2=0}，若 $B\subseteq A$B⊆A，则实数 $a$a 的取值集合是（　）。

A. $\{1,2\}${1,2}　B. $\{0,1\}${0,1}　C. $\{0,2\}${0,2}　D. $\{0,1,2\}${0,1,2}　E. $\{2\}${2}

答案：D

解析：$A=\{1,2\}$A={1,2}。若 $a=0$a=0，方程无解，$B$B 是空集，是 $A$A 的子集；若 $a\ne0$a=0，$B=\{\frac{2}{a}\}$B={a2​}，要 $\frac{2}{a}=1$a2​=1 或 $2$2，得 $a=2$a=2 或 $a=1$a=1。所以取值集合是 $\{0,1,2\}${0,1,2}，漏掉空集就会选 A。

本节小结

• $n$n 个元素的集合有 $2^n$2n 个子集；空集是任何集合的子集，讨论 $B\subseteq A$B⊆A 时别漏了空集。
• 二次函数：对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$x=−2ab​，顶点纵坐标 $\frac{4ac-b^2}{4a}$4a4ac−b2​；闭区间最值先看对称轴是否在区间内。
• 指数、对数运算记牢法则和换底公式；对数的真数必须大于 0。
• 底数大于 1 时指数、对数函数递增，底数在 0 和 1 之间时递减；比较大小用单调性和中间量。
• 幂函数 $y=x^{\alpha}$y=xα 的图像都过 $(1,1)$(1,1)，是否属于考查范围以当年大纲为准。