方程与不等式

本节导读

方程与不等式是代数部分出题最多的一块。一元二次方程主要考判别式和韦达定理（根与系数的关系）；不等式考一元二次不等式、简单分式不等式和简单绝对值不等式的解法；均值不等式则是求最值的利器，在应用题和条件充分性判断里都会用到。

学完这一节，你应该能不解方程就求出与两根有关的式子的值，会判断两根的符号，能快速写出几类不等式的解集，并会用「一正二定三相等」检验均值不等式的使用条件。

一元二次方程

判别式与求根公式

方程 $ax^2+bx+c=0$ax2+bx+c=0（$a\ne0$a=0）的判别式是 $\Delta=b^2-4ac$Δ=b2−4ac：$\Delta\gt0$Δ>0 有两个不相等的实数根，$\Delta=0$Δ=0 有两个相等的实数根，$\Delta\lt0$Δ<0 没有实数根。有实数根时，求根公式是

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$x=2a−b±b2−4ac​​

注意：题目说「方程有两个根」时，首项系数含字母的，要先保证 $a\ne0$a=0。

韦达定理

设两根为 $x_1$x1​、$x_2$x2​，则 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$x1​+x2​=−ab​，$x_1x_2=\frac{c}{a}$x1​x2​=ac​。与两根有关的对称式都能化成两根之和与积：

目标式	化成
$x_1^2+x_2^2$x12​+x22​	$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$(x1​+x2​)2−2x1​x2​
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$x1​1​+x2​1​	$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$x1​x2​x1​+x2​​
$(x_1-x_2)^2$(x1​−x2​)2	$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$(x1​+x2​)2−4x1​x2​

例如方程 $x^2-5x+3=0$x2−5x+3=0 的两根之和是 5、积是 3，所以 $x_1^2+x_2^2=25-6=19$x12​+x22​=25−6=19，不用真的去解方程。

根的符号

两根一正一负，只需 $\frac{c}{a}\lt0$ac​<0（这时判别式自然大于 0）；两根都是正数，需要 $\Delta\ge0$Δ≥0、$x_1+x_2\gt0$x1​+x2​>0、$x_1x_2\gt0$x1​x2​>0 同时成立；两根都是负数，需要 $\Delta\ge0$Δ≥0、和小于 0、积大于 0。

二元一次方程组

解法是消元：代入消元（用一个方程把某个未知数表示出来，代入另一个）或加减消元（把两个方程相加减，消去一个未知数）。例如 $2x+3y=12$2x+3y=12、$x-y=1$x−y=1：由第二个式子得 $x=y+1$x=y+1，代入第一个式子得 $5y+2=12$5y+2=12，所以 $y=2$y=2，$x=3$x=3。

不等式

基本性质与一次不等式

不等式两边同时加减一个数，不等号方向不变；同时乘或除以一个正数，方向不变；乘或除以一个负数，方向要改变。解一次不等式组，分别解出每个不等式，再取公共部分。

一元二次不等式

结合二次函数的图像来解。$a\gt0$a>0 且方程有两个不等实根 $x_1\lt x_2$x1​<x2​ 时，口诀是「大于取两边，小于取中间」：$ax^2+bx+c\gt0$ax2+bx+c>0 的解集是 $x\lt x_1$x<x1​ 或 $x\gt x_2$x>x2​；$ax^2+bx+c\lt0$ax2+bx+c<0 的解集是 $x_1\lt x\lt x_2$x1​<x<x2​。

例如 $x^2-3x-4\gt0$x2−3x−4>0，即 $(x-4)(x+1)\gt0$(x−4)(x+1)>0，解集是 $x\lt-1$x<−1 或 $x\gt4$x>4。首项系数是负数时，先两边乘 $-1$−1 化成正的，同时改变不等号方向。

分式不等式与绝对值不等式

类型	等价转化
$\frac{f(x)}{g(x)}\gt0$g(x)f(x)​>0	$f(x)g(x)\gt0$f(x)g(x)>0
$\frac{f(x)}{g(x)}\le0$g(x)f(x)​≤0	$f(x)g(x)\le0$f(x)g(x)≤0 且 $g(x)\ne0$g(x)=0
$\lvert x-a\rvert\lt b$∣x−a∣<b（$b\gt0$b>0）	$a-b\lt x\lt a+b$a−b<x<a+b
$\lvert x-a\rvert\gt b$∣x−a∣>b（$b\gt0$b>0）	$x\lt a-b$x<a−b 或 $x\gt a+b$x>a+b

绝对值不等式也可以用几何意义理解：$\lvert x+1\rvert\lt4$∣x+1∣<4 表示 $x$x 到 $-1$−1 的距离小于 4，即 $-5\lt x\lt3$−5<x<3。

均值不等式

内容与条件

当 $a\gt0$a>0，$b\gt0$b>0 时，

$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$2a+b​≥ab​

当且仅当 $a=b$a=b 时等号成立。使用时要满足「一正二定三相等」：两个数都是正数；和或积是定值；等号能取到。

两种用法

和是定值时，积有最大值；积是定值时，和有最小值。例如 $x\gt0$x>0 时，$x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4$x+x4​≥2x⋅x4​​=4，当 $x=2$x=2 时取到最小值 4。如果式子不是现成的形式，常要先拆项或配凑出定值。

易错提醒

• ❌ 方程 $kx^2+\cdots=0$kx2+⋯=0 有两个实数根，只列判别式。✅ 还要 $k\ne0$k=0，否则它不是二次方程。

• ❌ 分式不等式两边直接乘分母。✅ 分母的符号不确定，要转化成乘积的形式，并保证分母不为 0。

• ❌ 用韦达定理前不看判别式。✅ 方程没有实数根时，两根之和与积的式子虽然能写，但题目要求实数根时要先验证 $\Delta\ge0$Δ≥0。

• ❌ 不等式两边乘负数后不变号。✅ 乘或除以负数，不等号方向一定要改变。

• ❌ 用均值不等式时不验等号。✅ 等号取不到时，求出的不是最值，要改用函数的单调性等办法。

例题精讲

例题 1

已知方程 $x^2-3x-1=0$x2−3x−1=0 的两根为 $x_1$x1​、$x_2$x2​，则 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=$x1​1​+x2​1​=（　）。

A. $-3$−3　B. $-\frac{1}{3}$−31​　C. $\frac{1}{3}$31​　D. 3　E. $-1$−1

答案：A

解析：由韦达定理 $x_1+x_2=3$x1​+x2​=3，$x_1x_2=-1$x1​x2​=−1，所以 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{-1}=-3$x1​1​+x2​1​=x1​x2​x1​+x2​​=−13​=−3。

例题 2

不等式 $\frac{x-1}{x+2}\le0$x+2x−1​≤0 的解集是（　）。

A. $-2\le x\le1$−2≤x≤1　B. $-2\lt x\le1$−2<x≤1　C. $x\le-2$x≤−2 或 $x\ge1$x≥1　D. $x\lt-2$x<−2 或 $x\ge1$x≥1　E. $-2\lt x\lt1$−2<x<1

答案：B

解析：转化为 $(x-1)(x+2)\le0$(x−1)(x+2)≤0 且 $x+2\ne0$x+2=0。前者的解是 $-2\le x\le1$−2≤x≤1，去掉让分母为 0 的 $x=-2$x=−2，得 $-2\lt x\le1$−2<x≤1。选 A 的错在没有排除分母为 0 的点。

例题 3（条件充分性判断）

结论：$\lvert 2x-1\rvert\lt3$∣2x−1∣<3。条件（1）：$0\lt x\lt2$0<x<2；条件（2）：$\lvert x\rvert\lt1$∣x∣<1。

答案：D

解析：结论化为 $-3\lt2x-1\lt3$−3<2x−1<3，即 $-1\lt x\lt2$−1<x<2。条件（1）的范围在里面，充分；条件（2）是 $-1\lt x\lt1$−1<x<1，也在里面，充分。

本节小结

• 判别式决定实数根的个数；二次项系数含字母时先保证它不为 0。
• 韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$x1​+x2​=−ab​，$x_1x_2=\frac{c}{a}$x1​x2​=ac​；对称式都化成和与积；两根异号只需 $\frac{c}{a}\lt0$ac​<0。
• 一元二次不等式「大于取两边，小于取中间」；分式不等式化成乘积，分母不为 0。
• $\lvert x-a\rvert\lt b$∣x−a∣<b 取中间，$\lvert x-a\rvert\gt b$∣x−a∣>b 取两边。
• 均值不等式「一正二定三相等」：和定积最大，积定和最小，等号要能取到。