空间几何体与平面解析几何

本节导读

几何的后两块是空间几何体和平面解析几何。空间几何体考长方体、柱体、球体的体积和表面积，常见的是「熔铸」「内切外接」这类题；有二手资料称 2025 年版大纲新增了锥体，官方原文未见，本节一并讲，以当年大纲为准。平面解析几何考直线和圆，核心是两个距离公式。

学完这一节，你应该能熟练写出几种几何体的体积、表面积，会求直线方程并判断两直线平行、垂直，会用点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，并求出弦长。

空间几何体

体积与表面积

几何体	体积	表面积
长方体（长 $a$a、宽 $b$b、高 $c$c）	$abc$abc	$2(ab+bc+ca)$2(ab+bc+ca)
正方体（棱长 $a$a）	$a^3$a3	$6a^2$6a2
圆柱（底面半径 $r$r、高 $h$h）	$\pi r^2h$πr2h	$2\pi rh+2\pi r^2$2πrh+2πr2
球（半径 $R$R）	$\frac{4}{3}\pi R^3$34​πR3	$4\pi R^2$4πR2
锥体（底面积 $S$S、高 $h$h，二手说法新增）	$\frac{1}{3}Sh$31​Sh	圆锥的侧面展开是扇形

圆柱的侧面积是 $2\pi rh$2πrh，展开后是一个长为 $2\pi r$2πr、宽为 $h$h 的矩形。圆锥的体积是等底等高圆柱的三分之一。

对角线与内切外接

长方体的体对角线长 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$a2+b2+c2​，正方体的是 $\sqrt{3}a$3​a。正方体的外接球（八个顶点都在球面上）直径等于体对角线；内切球（与六个面都相切）直径等于棱长。

熔铸与注水

把一个几何体熔化后铸成另一个，或者把水从一个容器倒进另一个，体积不变。列「前后体积相等」的方程就能求出未知的长度。

两点间距离与直线方程

两点间距离

点 $A(x_1,y_1)$A(x1​,y1​)、$B(x_2,y_2)$B(x2​,y2​) 之间的距离是 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2​，中点坐标是 $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$(2x1​+x2​​,2y1​+y2​​)。例如 $(-2,3)$(−2,3) 与 $(4,11)$(4,11) 的距离是 $\sqrt{36+64}=10$36+64​=10。

斜率与直线方程

过两点的直线斜率 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$k=x2​−x1​y2​−y1​​（$x_1\ne x_2$x1​=x2​）。直线方程的常用形式：

形式	方程	说明
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$y−y0​=k(x−x0​)	已知一点和斜率
斜截式	$y=kx+b$y=kx+b	$b$b 是在 $y$y 轴上的截距
一般式	$Ax+By+C=0$Ax+By+C=0	$A$A、$B$B 不同时为 0

比如过点 $(1,3)$(1,3)、斜率为 2 的直线是 $y-3=2(x-1)$y−3=2(x−1)，即 $y=2x+1$y=2x+1。

两直线的位置关系

斜率都存在时：两直线平行，斜率相等且截距不等；两直线垂直，斜率之积为 $-1$−1。一般式里，$A_1x+B_1y+C_1=0$A1​x+B1​y+C1​=0 与 $A_2x+B_2y+C_2=0$A2​x+B2​y+C2​=0 垂直的条件是 $A_1A_2+B_1B_2=0$A1​A2​+B1​B2​=0。

点到直线的距离

点 $(x_0,y_0)$(x0​,y0​) 到直线 $Ax+By+C=0$Ax+By+C=0 的距离是

$$d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$$d=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​

两条平行直线 $Ax+By+C_1=0$Ax+By+C1​=0 与 $Ax+By+C_2=0$Ax+By+C2​=0 之间的距离是 $\frac{\lvert C_1-C_2\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$A2+B2​∣C1​−C2​∣​，前提是两个方程中 $x$x、$y$y 的系数要化成一样。